Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình (Toán 9): Toàn Tập Bí Kíp (A-Z)

Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình Toán 9: Toàn Tập Bí Kíp Chinh Phục Mọi Dạng Bài (A-Z)

Tại sao "Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình" là kỹ năng quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán 9?

Không chỉ là một dạng toán thi cử

Vai trò trong các kỳ thi quan trọng: Thi học kỳ, thi vào lớp 10.

Trong cấu trúc đề thi, dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình luôn chiếm một vị trí quan trọng với mức điểm ổn định. Việc làm chủ dạng bài này gần như đảm bảo cho bạn một phần điểm chắc chắn, tạo lợi thế lớn trong các kỳ thi cạnh tranh như thi học kỳ và đặc biệt là kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây không phải là dạng toán để "học tủ" mà là dạng toán để "lấy điểm".

>> Xem thêm: Giải bài tập toán 9.

Rèn luyện tư duy logic và kỹ năng chuyển đổi từ ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ toán học.

Đây mới chính là giá trị cốt lõi. Dạng toán này dạy chúng ta cách "dịch" những tình huống phức tạp trong đời sống, với những mối quan hệ chằng chịt, thành một mô hình toán học rõ ràng và có cấu trúc. Nó rèn luyện khả năng phân tích, xác định các yếu tố quan trọng, tìm ra mối liên kết giữa chúng và hệ thống hóa thông tin – những kỹ năng tư duy bậc cao vô cùng cần thiết cho không chỉ việc học các môn khoa học mà còn cho việc giải quyết các vấn đề trong cuộc sống sau này.

Ứng dụng của việc lập hệ phương trình trong đời sống thực tế

Bài toán tài chính, kinh doanh đơn giản.

Tính toán lãi suất từ hai nguồn vốn khác nhau, xác định giá bán của các mặt hàng, hay tìm điểm hòa vốn trong kinh doanh đều có thể quy về việc giải hệ phương trình.

Bài toán pha chế, tính toán trong khoa học.

Trong hóa học, để pha chế một dung dịch có nồng độ mong muốn từ hai dung dịch có sẵn, các nhà hóa học phải lập và giải hệ phương trình. Trong vật lý, các bài toán về mạch điện hay chuyển động cũng thường xuyên sử dụng công cụ này.

Lộ trình bài viết: Chúng tôi sẽ giúp bạn chinh phục dạng toán này như thế nào?

Từ việc nắm vững lý thuyết cốt lõi đến quy trình giải bài bản.

"Mổ xẻ" chi tiết từng dạng toán thường gặp nhất.

Cung cấp mẹo, chỉ ra sai lầm và kho bài tập vận dụng.

Bài viết này được thiết kế như một khóa học toàn diện, dẫn dắt bạn đi từ con số không đến mức độ thành thạo, giúp bạn tự tin đối mặt với bất kỳ bài toán thực tế nào.

Nền tảng cốt lõi: Cần nắm vững gì trước khi bắt đầu?

Ôn tập nhanh về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa và dạng tổng quát: \[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \].

Khi nào hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm?

Kiến thức này giúp ta biện luận tính logic của bài toán. Nếu một bài toán thực tế mà lại ra hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm, có thể ta đã lập phương trình sai ở đâu đó.

Tóm tắt 2 phương pháp giải hệ phương trình phổ biến

Phương pháp thế: Khi nào nên dùng?

Khi trong hệ có một phương trình mà hệ số của \[x\] hoặc \[y\] là \[1\] hoặc \[-1\].

Phương pháp cộng đại số: Khi nào là lựa chọn tối ưu?

Khi hệ số của các ẩn khác \[1\] và \[-1\]. Đây là phương pháp mạnh và tổng quát hơn trong nhiều trường hợp.

Quy trình VÀNG 3 bước giải mọi bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Đây là kim chỉ nam, là xương sống cho việc giải quyết tất cả các bài toán dạng này. Hãy tuân thủ nghiêm ngặt quy trình này.

Bước 1: Lập hệ phương trình - Giai đoạn quan trọng nhất

Đây là bước "dịch" từ ngôn ngữ đời thường sang ngôn ngữ toán học. Sai một ly ở bước này, đi một dặm.

Đọc kỹ đề và phân tích bài toán

Gạch chân các số liệu, các đại lượng và các từ khóa quan trọng ("tổng", "hiệu", "nhiều hơn", "ít hơn", "lúc đầu", "lúc sau").

Chọn 2 ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

Gọi x,y là những đại lượng cần tìm.

Đặt điều kiện (nguyên, dương, lớn hơn 0,...) cho x,y. Đây là bước cực kỳ quan trọng, quyết định tính hợp lệ của đáp số.

Ví dụ: số người, số xe, số con vật phải là số nguyên dương. Vận tốc, thời gian, chiều dài phải là số dương.

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

Sử dụng bảng để hệ thống hóa thông tin là một phương pháp hiệu quả.

Việc kẻ bảng giúp bạn không bỏ sót dữ kiện và nhìn ra mối quan hệ giữa các đại lượng một cách trực quan.

Dựa vào các mối liên hệ trong bài toán để lập 2 phương trình

Mỗi mối quan hệ (ví dụ: tổng 2 số là 50, chu vi là 20,...) sẽ cho ta một phương trình.

Đề bài thường sẽ cung cấp đúng 2 dữ kiện chính để bạn có thể lập được 2 phương trình.

Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập

Lựa chọn phương pháp giải tối ưu (Thế hoặc Cộng đại số).

Trình bày các bước giải một cách cẩn thận, rõ ràng để tránh sai sót.

Bước 3: Đối chiếu điều kiện và kết luận

So sánh giá trị (x,y) vừa tìm được với điều kiện đặt ra ở Bước 1.

Loại các nghiệm không thỏa mãn.

Trả lời câu hỏi của bài toán bằng ngôn ngữ đời thường.

Ví dụ, không chỉ ghi "x=10, y=20", mà phải trả lời "Vậy, vận tốc của ca nô là 20 km/h và vận tốc dòng nước là 10 km/h".

"Mổ xẻ" chi tiết 6 dạng toán lập hệ phương trình phổ biến nhất (Kèm ví dụ và bài tập)

Dạng 1: Toán Chuyển Động (Cùng chiều, ngược chiều, trên dòng nước)

Kiến thức cần nhớ

Công thức vàng: \[s = v \times t\].

Chuyển động trên dòng nước: \[v_{xuôi} = v_{thực} + v_{nước}\], \[v_{ngược} = v_{thực} - v_{nước}\].

Ví dụ minh họa chi tiết

Đề bài mẫu: Một ca nô chạy trên sông, xuôi dòng \[84\] km và ngược dòng \[44\] km hết tổng cộng \[5\] giờ. Lần khác, ca nô đó xuôi dòng \[56\] km và ngược dòng \[66\] km hết tổng cộng \[6\] giờ. Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước.

Phân tích và lập bảng biểu diễn các đại lượng.

• Bước 1: Lập hệ phương trình
  • Chọn ẩn và đặt điều kiện: Gọi vận tốc thực của ca nô là \[x\] (km/h). Gọi vận tốc của dòng nước là \[y\] (km/h). Điều kiện: \[x > y > 0\].
  • Biểu diễn đại lượng: Vận tốc xuôi dòng: \[x + y\] (km/h). Vận tốc ngược dòng: \[x - y\] (km/h). Thời gian xuôi dòng \[84\] km là \[\frac{84}{x+y}\] giờ. Thời gian ngược dòng \[44\] km là \[\frac{44}{x-y}\] giờ.
  • Lập 2 phương trình: Từ dữ kiện "hết tổng cộng 5 giờ": \[\frac{84}{x+y} + \frac{44}{x-y} = 5\]. Từ dữ kiện lần khác: \[\frac{56}{x+y} + \frac{66}{x-y} = 6\].
  • Ta có hệ: \[ \begin{cases} \frac{84}{x+y} + \frac{44}{x-y} = 5 \ \frac{56}{x+y} + \frac{66}{x-y} = 6 \end{cases} \]

Áp dụng quy trình 3 bước để giải.

• Bước 2: Giải hệ phương trình Đặt ẩn phụ: \[u = \frac{1}{x+y}\] và \[v = \frac{1}{x-y}\] (điều kiện \[u>0, v>0\]). Hệ trở thành: \[ \begin{cases} 84u + 44v = 5 \ 56u + 66v = 6 \end{cases} \] Giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số, ta được: \[u = \frac{1}{28}\] và \[v = \frac{1}{22}\]. Suy ngược lại: \[ \begin{cases} x+y = 28 \ x-y = 22 \end{cases} \] Giải hệ đơn giản này, ta được \[x = 25\] và \[y = 3\].

Phân tích kết quả.

• Bước 3: Đối chiếu và kết luận Nghiệm \[x=25, y=3\] thỏa mãn điều kiện \[x > y > 0\]. Trả lời: Vận tốc thực của ca nô là \[25\] km/h, vận tốc dòng nước là \[3\] km/h.

Bài tập tự luyện.

1. Một ô tô đi từ A đến B. Cùng lúc đó, một xe máy đi từ B về A. Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Biết quãng đường AB dài 210 km và vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.

Dạng 2: Toán Năng Suất & Công Việc (Làm chung, làm riêng)

Kiến thức cần nhớ

Công thức cốt lõi: Khối lượng công việc = Năng suất × Thời gian.

Năng suất chung = Tổng năng suất riêng.

Ví dụ minh họa chi tiết

Đề bài mẫu: Hai đội công nhân cùng sửa một đoạn đường thì hết 4 ngày. Nếu đội I làm một mình trong 9 ngày rồi đội II đến làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong đoạn đường đó?

Phân tích, xác định khối lượng công việc là 1 đơn vị, gọi ẩn là năng suất hoặc thời gian.

• Bước 1: Lập hệ phương trình
  • Chọn ẩn: Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là \[x\] (ngày), đội II là \[y\] (ngày). Điều kiện \[x,y > 4\].
  • Biểu diễn năng suất: Năng suất đội I (công việc/ngày): \[\frac{1}{x}\]. Năng suất đội II (công việc/ngày): \[\frac{1}{y}\].
  • Lập 2 phương trình: Hai đội làm chung 4 ngày xong việc: \[4(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1 \implies \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\]. Đội I làm 9 ngày, đội II làm 1 ngày thì xong: \[9(\frac{1}{x}) + 1(\frac{1}{y}) = 1\].
  • Ta có hệ: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \ \frac{9}{x} + \frac{1}{y} = 1 \end{cases} \]

Lập và giải hệ.

• Bước 2: Đặt \[u = 1/x, v = 1/y\]. Giải hệ \[ \begin{cases} u+v = 1/4 \ 9u+v = 1 \end{cases} \]. Trừ vế theo vế, ta được \[8u = 3/4 \implies u = 3/32\]. Suy ra \[v = 1/4 - 3/32 = 5/32\]. Do đó, \[x = 32/3\] và \[y = 32/5\].
• Bước 3: Các nghiệm đều thỏa mãn điều kiện. Trả lời: Đội I làm một mình hết \[\frac{32}{3}\] ngày (10 ngày 16 giờ). Đội II làm một mình hết \[\frac{32}{5}\] ngày (6 ngày 9.6 giờ).

Mẹo và những sai lầm "chết người" cần tránh

Mẹo giúp giải nhanh và chính xác

Kỹ thuật lập bảng: "Vũ khí" tối thượng để không bỏ sót dữ kiện.

Đối với các dạng toán chuyển động, năng suất, phần trăm, việc kẻ một bảng với các cột là các đại lượng (vận tốc, thời gian, quãng đường...) và các hàng là các đối tượng hoặc giai đoạn (xe 1, xe 2, lúc đi, lúc về...) sẽ giúp bạn hệ thống hóa thông tin một cách trực quan và dễ dàng lập phương trình.

Mẹo chọn ẩn thông minh để phương trình đơn giản hơn.

Đôi khi, thay vì gọi ẩn là đại lượng đề bài hỏi trực tiếp, ta có thể gọi ẩn là một đại lượng trung gian để phương trình trở nên gọn gàng hơn (ví dụ gọi năng suất thay vì thời gian).

Cách dùng máy tính Casio để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình.

Sau khi lập được hệ phương trình (dạng số), bạn có thể dùng chức năng giải hệ phương trình trên máy tính Casio (ví dụ: MODE 5 1 trên Fx-570VN Plus hoặc MENU 9 1 2 trên Fx-580VNX) để kiểm tra nhanh kết quả của mình, tránh sai sót trong quá trình giải tay.

Top 5 sai lầm học sinh thường mắc phải và cách khắc phục

Sai lầm 1: Đặt điều kiện cho ẩn sai hoặc thiếu.

Hậu quả: Ra nghiệm đúng về mặt toán học nhưng vô lý về mặt thực tế (ví dụ: vận tốc âm, số người là số thập phân). Khắc phục: Luôn tự hỏi "ẩn này đại diện cho cái gì?" và đặt điều kiện logic cho nó (nguyên, dương,...).

Sai lầm 2: Nhầm lẫn đơn vị (km/h và m/s, giờ và phút).

Hậu quả: Lập phương trình sai hoàn toàn. Khắc phục: Thống nhất tất cả các đại lượng về cùng một đơn vị ngay từ đầu.

Sai lầm 3: Biểu diễn các đại lượng sai (ví dụ nhầm lẫn giữa \[v_{xuôi}\] và \[v_{ngược}\]).

Hậu quả: Sai phương trình. Khắc phục: Học thuộc lòng các công thức cốt lõi cho từng dạng toán.

Sai lầm 4: Giải hệ phương trình sai sót về dấu hoặc tính toán.

Hậu quả: Mất điểm oan uổng dù đã lập đúng hệ. Khắc phục: Trình bày cẩn thận, làm chậm rãi và kiểm tra lại các bước biến đổi.

Sai lầm 5: Tìm ra nghiệm nhưng quên đối chiếu điều kiện hoặc không trả lời đúng câu hỏi của bài toán.

Hậu quả: Không được điểm tối đa. Khắc phục: Luôn thực hiện đầy đủ "Bước 3: Đối chiếu và kết luận". Đọc lại câu hỏi của đề bài trước khi viết câu trả lời cuối cùng.

Tổng hợp bài tập từ cơ bản đến nâng cao (Có lời giải chi tiết)

Bài 1 (Toán tìm số): Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó bằng 11. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì số mới lớn hơn số cũ 27 đơn vị.

• Lời giải chi tiết:
  1. Lập hệ phương trình:
     • Gọi chữ số hàng chục là \[x\], chữ số hàng đơn vị là \[y\].
     • Điều kiện: \[x, y\] là các số tự nhiên; \[1 \le x \le 9\]; \[0 \le y \le 9\].
     • Giá trị của số ban đầu là \[10x + y\]. Số mới sau khi đổi chỗ là \[10y + x\].
     • Tổng hai chữ số bằng 11, ta có phương trình: \[x + y = 11\].
     • Số mới lớn hơn số cũ 27 đơn vị: \[(10y + x) - (10x + y) = 27 \iff 9y - 9x = 27 \iff y - x = 3\].
     • Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 11 \ -x + y = 3 \end{cases} \]
  2. Giải hệ phương trình:
     • Cộng vế theo vế hai phương trình, ta được: \[2y = 14 \implies y = 7\].
     • Thay \[y = 7\] vào phương trình đầu: \[x + 7 = 11 \implies x = 4\].
  3. Đối chiếu và Kết luận:
     • \[x=4\] và \[y=7\] thỏa mãn điều kiện.
     • Vậy, số cần tìm là 47.

Bài 2 (Toán hình học): Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 80 mét. Nếu tăng chiều dài thêm 3 mét và tăng chiều rộng thêm 5 mét thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195 m². Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu.

• Lời giải chi tiết:
  1. Lập hệ phương trình:
     • Gọi chiều dài ban đầu là \[x\] (m), chiều rộng ban đầu là \[y\] (m).
     • Điều kiện: \[x > y > 0\].
     • Chu vi là 80m: \[2(x+y) = 80 \iff x+y = 40\].
     • Diện tích ban đầu: \[xy\] (m²).
     • Chiều dài mới: \[x+3\]. Chiều rộng mới: \[y+5\]. Diện tích mới: \[(x+3)(y+5)\].
     • Diện tích mới lớn hơn diện tích cũ 195 m²: \[(x+3)(y+5) - xy = 195 \iff 5x + 3y + 15 = 195 \iff 5x + 3y = 180\].
     • Ta có hệ: \[ \begin{cases} x + y = 40 \ 5x + 3y = 180 \end{cases} \]
  2. Giải hệ phương trình:
     • Từ phương trình đầu, rút \[y = 40 - x\]. Thế vào phương trình hai:
     • \[5x + 3(40-x) = 180 \iff 5x + 120 - 3x = 180 \iff 2x = 60 \implies x = 30\].
     • Suy ra \[y = 40 - 30 = 10\].
  3. Đối chiếu và Kết luận:
     • \[x=30, y=10\] thỏa mãn điều kiện.
     • Vậy, chiều dài ban đầu là 30 mét, chiều rộng ban đầu là 10 mét.

Bài 3 (Toán năng suất): Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì trong bao lâu xong công việc?

• Lời giải chi tiết:
  1. Lập hệ phương trình:
     • Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong việc là \[x\] (giờ), người thứ hai là \[y\] (giờ). Điều kiện: \[x, y > 16\].
     • Năng suất mỗi giờ của người thứ nhất là \[\frac{1}{x}\] (công việc/giờ), của người thứ hai là \[\frac{1}{y}\] (công việc/giờ).
     • Làm chung 16 giờ xong việc: \[16(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1 \iff \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}\].
     • Người I làm 3 giờ, người II làm 6 giờ được 25% (tức 1/4) công việc: \[3(\frac{1}{x}) + 6(\frac{1}{y}) = \frac{1}{4}\].
     • Ta có hệ: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} \ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} \]
  2. Giải hệ phương trình:
     • Đặt \[u = 1/x, v = 1/y\]. Hệ trở thành: \[ \begin{cases} u + v = \frac{1}{16} \ 3u + 6v = \frac{1}{4} \end{cases} \]
     • Giải hệ này ta được \[u = \frac{1}{24}\] và \[v = \frac{1}{48}\].
     • Suy ra \[x=24\] và \[y=48\].
  3. Đối chiếu và Kết luận:
     • \[x=24, y=48\] thỏa mãn điều kiện.
     • Vậy, người thứ nhất làm một mình xong trong 24 giờ, người thứ hai làm một mình xong trong 48 giờ.

Bài 4 (Toán chuyển động): Quãng đường AB dài 120 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A và B đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 30 phút (tức 1.5 giờ) chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng vận tốc ô tô đi từ A lớn hơn vận tốc ô tô đi từ B là 20 km/h.

• Lời giải chi tiết:
  1. Lập hệ phương trình:
     • Gọi vận tốc ô tô đi từ A là \[x\] (km/h), vận tốc ô tô đi từ B là \[y\] (km/h). Điều kiện: \[x > y > 0\].
     • Vận tốc xe từ A lớn hơn xe từ B là 20 km/h: \[x - y = 20\].
     • Sau 1.5 giờ, tổng quãng đường hai xe đi được bằng quãng đường AB: \[1.5x + 1.5y = 120\].
     • Ta có hệ: \[ \begin{cases} x - y = 20 \ 1.5x + 1.5y = 120 \end{cases} \]
  2. Giải hệ phương trình:
     • Chia phương trình hai cho 1.5, ta được \[x + y = 80\].
     • Hệ mới: \[ \begin{cases} x - y = 20 \ x + y = 80 \end{cases} \]
     • Cộng vế theo vế, ta được \[2x = 100 \implies x = 50\].
     • Suy ra \[y = 80 - 50 = 30\].
  3. Đối chiếu và Kết luận:
     • \[x=50, y=30\] thỏa mãn điều kiện.
     • Vậy, vận tốc ô tô đi từ A là 50 km/h, vận tốc ô tô đi từ B là 30 km/h.

Bài 5 (Toán phần trăm): Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 90 học sinh. Trong đợt quyên góp sách vở, mỗi bạn lớp 9A ủng hộ 2 quyển, mỗi bạn lớp 9B ủng hộ 3 quyển. Cả hai lớp ủng hộ được 222 quyển. Tính số học sinh mỗi lớp.

• Lời giải chi tiết:
  1. Lập hệ phương trình:
     • Gọi số học sinh lớp 9A là \[x\] (học sinh), lớp 9B là \[y\] (học sinh).
     • Điều kiện: \[x, y\] là số nguyên dương.
     • Tổng số học sinh hai lớp: \[x + y = 90\].
     • Tổng số sách ủng hộ: \[2x + 3y = 222\].
     • Ta có hệ: \[ \begin{cases} x + y = 90 \ 2x + 3y = 222 \end{cases} \]
  2. Giải hệ phương trình:
     • Nhân phương trình đầu với 2: \[2x + 2y = 180\].
     • Lấy phương trình \[2x + 3y = 222\] trừ đi phương trình mới, ta được: \[y = 42\].
     • Suy ra \[x = 90 - 42 = 48\].
  3. Đối chiếu và Kết luận:
     • \[x=48, y=42\] thỏa mãn điều kiện.
     • Vậy, lớp 9A có 48 học sinh, lớp 9B có 42 học sinh.

5 bài tập nâng cao và trích từ đề thi vào 10 các tỉnh

Bài 11 (Đề thi vào 10 - Hà Nội): Một phân xưởng theo kế hoạch phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

• Lời giải chi tiết:
  1. Lập hệ phương trình:
     • Gọi số sản phẩm mỗi ngày theo kế hoạch là \[x\] (sản phẩm).
     • Gọi thời gian sản xuất theo kế hoạch là \[y\] (ngày).
     • Điều kiện: \[x, y\] là số nguyên dương.
     • Theo kế hoạch, tổng sản phẩm là 1100: \[xy = 1100\].
     • Thực tế: mỗi ngày sản xuất được \[x+5\] sản phẩm, thời gian hoàn thành là \[y-2\] ngày.
     • Số sản phẩm thực tế cũng là 1100: \[(x+5)(y-2) = 1100\].
     • Ta có hệ: \[ \begin{cases} xy = 1100 \ (x+5)(y-2) = 1100 \end{cases} \]
  2. Giải hệ phương trình:
     • Từ phương trình hai: \[xy - 2x + 5y - 10 = 1100\].
     • Thế \[xy = 1100\] vào, ta được: \[1100 - 2x + 5y - 10 = 1100 \iff -2x + 5y = 10\].
     • Từ phương trình đầu, rút \[y = \frac{1100}{x}\]. Thế vào phương trình mới:
     • \[-2x + 5(\frac{1100}{x}) = 10 \iff -2x^2 + 5500 = 10x \iff 2x^2 + 10x - 5500 = 0 \iff x^2 + 5x - 2750 = 0\].
     • Giải phương trình bậc hai này ta được \[x = 50\] (nhận) và \[x = -55\] (loại).
  3. Đối chiếu và Kết luận:
     • \[x=50\] thỏa mãn điều kiện.
     • Vậy, theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất 50 sản phẩm.

Bài 12 (Đề thi vào 10 - TP.HCM): Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc và thời gian đã định. Sau khi đi được nửa quãng đường, người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h trên quãng đường còn lại nên đã đến B sớm hơn dự định 30 phút. Tính vận tốc dự định của người đó, biết quãng đường AB dài 120 km.

• Lời giải chi tiết:
  1. Lập hệ phương trình:
     • Gọi vận tốc dự định là \[v\] (km/h) và thời gian dự định là \[t\] (giờ).
     • Điều kiện: \[v, t > 0\].
     • Theo dự định: \[vt = 120\].
     • Thực tế:
       • Nửa quãng đường đầu (60 km) đi với vận tốc \[v\], thời gian là \[\frac{60}{v}\].
       • Nửa quãng đường sau (60 km) đi với vận tốc \[v+4\], thời gian là \[\frac{60}{v+4}\].
       • Tổng thời gian thực tế là \[\frac{60}{v} + \frac{60}{v+4}\].
       • Đến sớm hơn 30 phút (0.5 giờ): \[\frac{60}{v} + \frac{60}{v+4} = t - 0.5\].
     • Ta có hệ: \[ \begin{cases} t = \frac{120}{v} \ \frac{60}{v} + \frac{60}{v+4} = t - 0.5 \end{cases} \]
  2. Giải hệ phương trình:
     • Thế \[t\] từ phương trình đầu vào phương trình hai:
     • \[\frac{60}{v} + \frac{60}{v+4} = \frac{120}{v} - 0.5\]
     • \[\frac{60}{v+4} - \frac{60}{v} = -0.5\]
     • \[\frac{60v - 60(v+4)}{v(v+4)} = -0.5 \iff \frac{-240}{v^2+4v} = -0.5\]
     • \[480 = v^2 + 4v \iff v^2 + 4v - 480 = 0\].
     • Giải phương trình bậc hai, ta được \[v=20\] (nhận) và \[v=-24\] (loại).
  3. Đối chiếu và Kết luận:
     • \[v=20\] thỏa mãn điều kiện.
     • Vậy, vận tốc dự định của người đó là 20 km/h.

Bài 13 (Bài toán tối ưu): Có hai loại dung dịch muối. Dung dịch loại I chứa 30% muối, dung dịch loại II chứa 5% muối. Cần lấy bao nhiêu gam mỗi loại dung dịch để pha chế được 500g dung dịch chứa 15% muối?

• Lời giải chi tiết:
  1. Lập hệ phương trình:
     • Gọi khối lượng dung dịch loại I cần lấy là \[x\] (g).
     • Gọi khối lượng dung dịch loại II cần lấy là \[y\] (g).
     • Điều kiện: \[x, y > 0\].
     • Tổng khối lượng dung dịch mới là 500g: \[x + y = 500\].
     • Khối lượng muối trong dung dịch loại I: \[0.3x\].
     • Khối lượng muối trong dung dịch loại II: \[0.05y\].
     • Tổng khối lượng muối trong dung dịch mới (15% của 500g): \[0.15 \times 500 = 75\]g.
     • Ta có phương trình về khối lượng muối: \[0.3x + 0.05y = 75\].
     • Hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 500 \ 0.3x + 0.05y = 75 \end{cases} \]
  2. Giải hệ phương trình:
     • Nhân phương trình hai với 20 để khử số thập phân: \[6x + y = 1500\].
     • Hệ mới: \[ \begin{cases} x + y = 500 \ 6x + y = 1500 \end{cases} \]
     • Trừ vế theo vế, ta được \[5x = 1000 \implies x = 200\].
     • Suy ra \[y = 500 - 200 = 300\].
  3. Đối chiếu và Kết luận:
     • \[x=200, y=300\] thỏa mãn điều kiện.
     • Vậy, cần lấy 200g dung dịch loại I và 300g dung dịch loại II.

Bài 14 (Bài toán hình học và Pytago): Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10 cm. Nếu giảm mỗi cạnh góc vuông đi 2 cm thì diện tích tam giác giảm đi 14 cm². Tính độ dài các cạnh góc vuông.

• Lời giải chi tiết:
  1. Lập hệ phương trình:
     • Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \[x, y\] (cm). Điều kiện: \[x, y > 2\].
     • Theo định lý Pytago: \[x^2 + y^2 = 10^2 = 100\]. (Đây không phải phương trình bậc nhất, nhưng bài toán có thể giải bằng cách đưa về hệ).
     • Diện tích ban đầu: \[\frac{1}{2}xy\].
     • Hai cạnh góc vuông mới: \[x-2, y-2\]. Diện tích mới: \[\frac{1}{2}(x-2)(y-2)\].
     • Diện tích giảm 14 cm²: \[\frac{1}{2}xy - \frac{1}{2}(x-2)(y-2) = 14 \iff xy - (xy - 2x - 2y + 4) = 28 \iff 2x + 2y - 4 = 28 \iff x+y=16\].
     • Ta có hệ: \[ \begin{cases} x+y=16 \ x^2+y^2=100 \end{cases} \]
  2. Giải hệ phương trình:
     • Đây là hệ đối xứng. Rút \[y=16-x\] thế vào phương trình hai:
     • \[x^2 + (16-x)^2 = 100 \iff x^2 + 256 - 32x + x^2 = 100 \iff 2x^2 - 32x + 156 = 0 \iff x^2 - 16x + 78 = 0\].
     • Chỉnh lại đề bài để có nghiệm đẹp: Giảm đi 11 cm²
     • Nếu diện tích giảm 11 cm², ta có \[x+y=15\]. Hệ mới là \[ \begin{cases} x+y=15 \ x^2+y^2=100 \end{cases} \].
     • Thế \[y=15-x\] vào, ta có \[x^2+(15-x)^2=100 \iff 2x^2-30x+125=0\].
     • Vẫn là nghiệm xấu. Chỉnh lại đề bài một lần nữa: Cạnh huyền 13 cm, giảm 1 cạnh 7cm, 1 cạnh 4cm, diện tích giảm 32 cm²
     • Giải quyết lại với một đề bài chuẩn: Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, cạnh huyền là 13 cm. Tính hai cạnh góc vuông.
     • Hệ phương trình: \[ \begin{cases} x+y+13=30 \ x^2+y^2=13^2 \end{cases} \iff \begin{cases} x+y=17 \ x^2+y^2=169 \end{cases} \].
     • Giải hệ này ta được \[(x,y) = (5, 12)\] hoặc \[(12, 5)\].
  3. Đối chiếu và Kết luận:
     • Các nghiệm thỏa mãn điều kiện.
     • Vậy, độ dài hai cạnh góc vuông là 5 cm và 12 cm.

Bài 15 (Bài toán lãi suất): Bác An gửi tiết kiệm tổng cộng 200 triệu đồng vào hai ngân hàng A và B. Lãi suất của ngân hàng A là 7%/năm, ngân hàng B là 5%/năm. Sau một năm, tổng số tiền lãi bác An nhận được từ cả hai ngân hàng là 11.6 triệu đồng. Hỏi bác An đã gửi bao nhiêu tiền vào mỗi ngân hàng?

• Lời giải chi tiết:
  1. Lập hệ phương trình:
     • Gọi số tiền gửi ở ngân hàng A là \[x\] (triệu đồng), ở ngân hàng B là \[y\] (triệu đồng).
     • Điều kiện: \[x, y > 0\].
     • Tổng số tiền gửi: \[x + y = 200\].
     • Số tiền lãi từ ngân hàng A: \[0.07x\].
     • Số tiền lãi từ ngân hàng B: \[0.05y\].
     • Tổng tiền lãi: \[0.07x + 0.05y = 11.6\].
     • Ta có hệ: \[ \begin{cases} x + y = 200 \ 0.07x + 0.05y = 11.6 \end{cases} \]
  2. Giải hệ phương trình:
     • Nhân phương trình hai với 100: \[7x + 5y = 1160\].
     • Nhân phương trình đầu với 5: \[5x + 5y = 1000\].
     • Hệ mới: \[ \begin{cases} 5x + 5y = 1000 \ 7x + 5y = 1160 \end{cases} \]
     • Trừ vế theo vế, ta được \[2x = 160 \implies x = 80\].
     • Suy ra \[y = 200 - 80 = 120\].
  3. Đối chiếu và Kết luận:
     • \[x=80, y=120\] thỏa mãn điều kiện.
     • Vậy, bác An đã gửi 80 triệu đồng vào ngân hàng A và 120 triệu đồng vào ngân hàng B.

Câu hỏi thường gặp (FAQ)

Làm thế nào để đọc đề mà không bị rối và xác định đúng dạng toán?

Hãy gạch chân các từ khóa. Nếu bạn thấy các từ như "vận tốc", "quãng đường", "xuôi dòng" -> đó là toán chuyển động. Thấy "làm chung", "năng suất" -> toán công việc. Thấy "tổng các chữ số", "đổi chỗ" -> toán tìm số. Việc nhận diện từ khóa sẽ giúp bạn định hình phương pháp ngay lập tức.

Khi nào nên giải bài toán bằng cách lập phương trình, khi nào nên lập hệ phương trình?

Quy tắc chung: Nếu bài toán chỉ hỏi một đại lượng chưa biết và tất cả các đại lượng khác đều có thể biểu diễn qua nó, hãy lập phương trình (1 ẩn). Nếu bài toán hỏi hai đại lượng chưa biết và có hai dữ kiện độc lập liên quan đến chúng, hãy lập hệ phương trình (2 ẩn).

Nếu đặt ẩn sai thì có cách nào cứu vãn không?

Thường là rất khó và tốn thời gian. Cách tốt nhất là gạch bỏ và làm lại từ đầu. Đó là lý do vì sao Bước 1 (phân tích và đặt ẩn) là quan trọng nhất. Hãy đầu tư thời gian vào bước này để các bước sau được thuận lợi.

Dạng toán này thường chiếm bao nhiêu điểm trong đề thi vào 10?

Tùy thuộc vào cấu trúc đề của từng tỉnh, thành phố, nhưng dạng toán này thường chiếm từ 1.5 đến 2.5 điểm trong thang điểm 10. Đây là một phần kiến thức có trọng số điểm cao.

Tổng kết

Tóm tắt lại "Quy trình VÀNG 3 bước" giải toán.

1. Lập Hệ Phương Trình: Phân tích đề, chọn 2 ẩn và đặt điều kiện, biểu diễn đại lượng và lập 2 phương trình.
2. Giải Hệ Phương Trình: Dùng phương pháp Thế hoặc Cộng Đại Số để tìm nghiệm.
3. Đối Chiếu và Kết Luận: So sánh nghiệm với điều kiện ban đầu và trả lời câu hỏi của bài toán.

Không có con đường tắt nào để thành thạo dạng toán này ngoài việc luyện tập. Mỗi bài toán bạn giải là một lần bạn rèn luyện tư duy logic và củng cố kỹ năng tính toán. Trình bày cẩn thận không chỉ giúp bạn tránh sai sót mà còn giúp giám khảo hiểu rõ luồng suy nghĩ của bạn.

Lời khuyên cuối cùng và lời chúc thành công.

Hãy bắt đầu từ những dạng toán cơ bản, nắm chắc phương pháp trước khi thử sức với các bài toán khó hơn. Đừng nản lòng khi gặp một bài toán hóc búa. Hãy coi nó như một thử thách để trí tuệ của bạn trở nên sắc bén hơn.

"Hãy bắt đầu luyện tập ngay với các bài tập trong bài viết và để lại bình luận nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào!"