Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn (Toán 9): Cẩm Nang Toàn Tập A-Z

Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn (Toán 9): Siêu Cẩm Nang Toàn Tập A-Z về Lý Thuyết & Cách Giải

Giới thiệu - Vì sao phương trình bậc hai là "xương sống" của Đại số lớp 9 và Toán THPT?

Nếu hàm số bậc nhất là những bước đi đầu tiên của bạn vào thế giới đại số giải tích, thì phương trình bậc hai chính là cánh cửa mở ra một vũ trụ toán học rộng lớn và phức tạp hơn rất nhiều. Nó không chỉ là một chương kiến thức đơn thuần, mà thực sự là "xương sống" cho toàn bộ chương trình Toán cấp 3 và các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật sau này.

>> Xem thêm: Bài tập toán 9.

Tầm quan trọng trong chương trình học và các kỳ thi

Là nền tảng cho mọi kiến thức toán cấp 3 (khảo sát hàm số, giải tích,...).

Việc khảo sát hàm số bậc hai, bậc ba, hàm phân thức; giải các bài toán tích phân, tìm giới hạn; hay các bài toán tương giao phức tạp ở cấp 3 đều quy về việc giải hoặc biện luận một phương trình bậc hai. Nắm vững kiến thức này ở lớp 9 là bạn đang xây một nền móng vững chắc cho ba năm học tiếp theo.

Chiếm tỷ trọng điểm số cao trong các bài thi học kỳ và đặc biệt là kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10.

Trong mọi kỳ thi quan trọng của lớp 9, các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét luôn chiếm một tỷ trọng điểm số đáng kể. Đây là phần kiến thức dùng để phân loại học sinh và chinh phục những điểm số cao nhất. Làm chủ nó đồng nghĩa với việc bạn đang nắm chắc trong tay tấm vé vào ngôi trường cấp 3 mơ ước.

Vẻ đẹp và ứng dụng của đường Parabol trong thế giới thực

Phương trình bậc hai có một "người anh em song sinh" trong hình học, đó chính là đường Parabol. Vẻ đẹp của nó không chỉ nằm trên giấy.

Quỹ đạo của các vật thể được ném đi.

Quỹ đạo của một quả bóng rổ được ném vào rổ, một tia nước phun từ vòi phun, hay đường bay của một quả cầu vồng sau cơn mưa đều là những đường Parabol hoàn hảo, được mô tả chính xác bởi một phương trình bậc hai.

Thiết kế của các công trình kiến trúc (cầu, ăng-ten parabol).

Các kỹ sư sử dụng hình dạng Parabol để thiết kế những cây cầu vòm vững chắc, những chiếc chảo ăng-ten vệ tinh có khả năng hội tụ sóng tuyệt vời, hay những chiếc gương phản xạ trong đèn pha ô tô giúp tạo ra chùm sáng mạnh mẽ.

Lộ trình của bài viết: Bạn sẽ học được gì từ "siêu cẩm nang" này?

Nắm vững định nghĩa, các dạng đặc biệt.

Thành thạo công thức nghiệm tổng quát và thu gọn.

Khai thác tối đa sức mạnh của Hệ thức Vi-ét.

Chinh phục các bài toán nâng cao chứa tham số và bài toán thực tế.

Đây không chỉ là một bài viết, mà là một khóa học toàn diện. Hãy cùng bắt đầu!

Toàn bộ lý thuyết về phương trình bậc hai một ẩn (\[ax^2+bx+c=0\])

Định nghĩa chuẩn xác và các thành phần

Dạng tổng quát của phương trình bậc hai một ẩn: \[ax^2+bx+c=0\].

Phương trình bậc hai một ẩn (ẩn \[x\]) là phương trình có dạng tổng quát là:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Điều kiện bắt buộc: hệ số a phải khác 0 (\[a \ne 0\]).

Đây là điều kiện tiên quyết. Nếu \[a=0\], phương trình trở thành \[bx+c=0\], là một phương trình bậc nhất, không còn là phương trình bậc hai nữa.

Cách xác định chính xác các hệ số a, b, c (kèm ví dụ và lưu ý về dấu).

Việc xác định đúng hệ số là bước đầu tiên và quan trọng nhất. Luôn nhớ rằng các hệ số này đi kèm với dấu của chúng.

• Ví dụ 1: Phương trình \[2x^2 - 5x + 7 = 0\] có \[a=2\], \[b=-5\], \[c=7\].
• Ví dụ 2: Phương trình \[x^2 - 9 = 0\] có \[a=1\], \[b=0\], \[c=-9\].
• Ví dụ 3: Phương trình \[-3x^2 + x = 0\] có \[a=-3\], \[b=1\], \[c=0\].

Các dạng phương trình bậc hai đặc biệt (khuyết)

Đây là các dạng phương trình có thể giải nhanh mà không cần dùng công thức nghiệm.

Dạng khuyết hệ số c (\[ax^2+bx=0\])

Phương pháp giải: Đặt nhân tử chung \[x(ax+b)=0\].

Luôn có 2 nghiệm: \[x_1=0\] và \[x_2=−\frac{b}{a}\].

Ví dụ minh họa: Giải phương trình \[2x^2−6x=0\].

\[ 2x^2 - 6x = 0 \iff 2x(x - 3) = 0 \]\[ \iff \begin{cases} 2x = 0 \ x - 3 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 0 \ x = 3 \end{cases} \]Vậy phương trình có hai nghiệm là \[x_1=0\] và \[x_2=3\].

Dạng khuyết hệ số b (\[ax^2+c=0\])

Phương pháp giải: Chuyển vế \[x^2=−\frac{c}{a}\].

Biện luận số nghiệm dựa trên dấu của tích \[a \cdot c\].

Nếu a và c trái dấu ((−\frac{c}{a}>0)): Phương trình có 2 nghiệm đối nhau.

Nếu a và c cùng dấu ((−\frac{c}{a}<0)): Phương trình vô nghiệm.

Ví dụ minh họa: Giải \[3x^2−12=0\] và \[x^2+4=0\].

• Với \[3x^2−12=0\]: \[ \]3x^2 = 12 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2 \]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[x\_1=2\] và \[x\_2=-2\].

• Với \[x^2+4=0\]: \[ \]\]x^2 = -4 \] Vì \[x^2 \ge 0\] với mọi \[x\], nên không có giá trị \[x\] nào thỏa mãn \[x^2 = -4\]. Phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm tổng quát - "Chìa khóa vạn năng" giải mọi phương trình bậc hai

Biệt thức Delta (\[\Delta=b^2−4ac\]) và ý nghĩa hình học của nó

Delta là gì? Tại sao lại gọi là "biệt thức"? (Vì nó giúp "phân biệt" số nghiệm của phương trình).

Để giải phương trình bậc hai ở dạng đầy đủ, các nhà toán học đã tìm ra một đại lượng đặc biệt gọi là biệt thức Delta, ký hiệu là \[\Delta\].

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]"Biệt thức" có nghĩa là "yếu tố dùng để phân biệt". Dấu của \[\Delta\] sẽ cho chúng ta biết chính xác phương trình có bao nhiêu nghiệm mà không cần giải nó.

Mối liên hệ giữa dấu của Delta và số giao điểm của Parabol \[(P):y=ax^2+bx+c\] với trục hoành Ox.

Nghiệm của phương trình \[ax^2+bx+c=0\] chính là hoành độ giao điểm của đồ thị Parabol \[y=ax^2+bx+c\] và trục hoành \[y=0\].

• \[\Delta > 0\] (\iff) Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
• \[\Delta = 0\] (\iff) Parabol tiếp xúc với trục hoành tại 1 điểm (đỉnh).
• \[\Delta < 0\] (\iff) Parabol không cắt trục hoành (nằm hoàn toàn phía trên hoặc phía dưới).

Chứng minh công thức nghiệm (Phần kiến thức chuyên sâu)

Các bước biến đổi từ dạng tổng quát \[ax^2+bx+c=0\] thành dạng \[(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2−4ac}{4a^2}\].

Xuất phát từ \[ax^2+bx+c=0\]. Vì \[a \ne 0\], ta chia hai vế cho \[a\]: \[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \] Biến đổi để tạo hằng đẳng thức: \[ x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} = 0 \] \[ (x + \frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a} \] \[ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \] \[ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = \frac{\Delta}{4a^2} \] Từ đây, ta có thể dễ dàng suy ra các công thức nghiệm.

Biện luận chi tiết 3 trường hợp số nghiệm của phương trình dựa vào Delta (\[\Delta\])

Trường hợp 1: \[\Delta>0 \implies\] Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Công thức nghiệm: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\].

Ví dụ chi tiết: Giải phương trình \[x^2−5x+6=0\].

Các bước tính \[\Delta\], tính \[\sqrt{\Delta}\] và thay vào công thức.

• Xác định hệ số: \[a=1, b=-5, c=6\].
• Tính Delta: \[\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\].
• Vì \[\Delta = 1 > 0\], phương trình có 2 nghiệm phân biệt. \[\sqrt{\Delta} = 1\].
• Áp dụng công thức nghiệm: \[ x_1 = \frac{-(-5) + 1}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-(-5) - 1}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \]
• Kết luận: Phương trình có tập nghiệm \[S = {2; 3}\].

Trường hợp 2: \[\Delta=0 \implies\] Phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm bằng nhau)

Công thức nghiệm kép: \[x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}\].

Ví dụ chi tiết: Giải phương trình \[4x^2−4x+1=0\].

• Xác định hệ số: \[a=4, b=-4, c=1\].
• Tính Delta: \[\Delta = (-4)^2 - 4(4)(1) = 16 - 16 = 0\].
• Vì \[\Delta = 0\], phương trình có nghiệm kép.
• Áp dụng công thức: \[ x_1 = x_2 = \frac{-(-4)}{2(4)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
• Kết luận: Phương trình có nghiệm kép \[x = \frac{1}{2}\].

Phân tích tại sao nghiệm kép là điểm tiếp xúc của Parabol với trục Ox.

Khi \[\Delta=0\], Parabol và trục hoành chỉ có một điểm chung duy nhất. Điểm này chính là đỉnh của Parabol, do đó Parabol tiếp xúc với trục Ox tại đỉnh.

Trường hợp 3: \[\Delta<0 \implies\] Phương trình vô nghiệm

Giải thích tại sao vô nghiệm (không tồn tại căn bậc hai của số âm trong tập số thực).

Ví dụ chi tiết: Chứng tỏ phương trình \[x^2+2x+5=0\] vô nghiệm.

• Xác định hệ số: \[a=1, b=2, c=5\].
• Tính Delta: \[\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16\].
• Vì \[\Delta = -16 < 0\], phương trình đã cho vô nghiệm.

Công thức nghiệm thu gọn (\[\Delta'\]) - "Vũ khí" tăng tốc cho bài toán có hệ số b chẵn

Khi nào nên dùng công thức nghiệm thu gọn?

Điều kiện: hệ số b là số chẵn.

Cách xác định \[b'\] từ \[b\] (\[b=2b'\]).

Khi hệ số \[b\] là một số chẵn, ta có thể viết \[b = 2b'\]. Việc sử dụng công thức nghiệm thu gọn sẽ giúp các con số trong phép tính nhỏ hơn, giảm thiểu sai sót và tăng tốc độ làm bài.

Biệt thức Delta phẩy (\[\Delta' = b'^2 − ac\]) và cách tính

Mối quan hệ giữa \[\Delta\] và \[\Delta'\]: \[\Delta=4\Delta'\].

Vì \[\Delta = b^2 - 4ac = (2b')^2 - 4ac = 4b'^2 - 4ac = 4(b'^2 - ac) = 4\Delta'\]. Điều này chứng tỏ dấu của \[\Delta\] và \[\Delta'\] luôn giống nhau.

Các trường hợp nghiệm với \[\Delta'\]

• \[\Delta' > 0\]: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[x_{1,2} = \frac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}\].
• \[\Delta' = 0\]: Phương trình có nghiệm kép \[x = \frac{-b'}{a}\].
• \[\Delta' < 0\]: Phương trình vô nghiệm.

So sánh song song công thức nghiệm tổng quát và thu gọn để thấy sự tiện lợi.

Ví dụ thực tế: So sánh tốc độ giải một bài toán bằng \[\Delta\] và \[\Delta'\]

Giải phương trình \[x^2 - 6x + 5 = 0\].

• Dùng \[\Delta\]: \[b=-6\]. \[\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16\]. \[x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}\].
• Dùng \[\Delta'\]: \[b=-6 \implies b'=-3\]. \[\Delta' = (-3)^2 - 1(5) = 9 - 5 = 4\]. \[x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{4}}{1} = 3 \pm 2\]. Rõ ràng các con số trong phép tính với \[\Delta'\] nhỏ và dễ tính nhẩm hơn.

Hệ thức Vi-ét và những ứng dụng "diệu kỳ"

Nếu công thức nghiệm Delta là "chìa khóa vạn năng" để tìm ra nghiệm của một phương trình, thì Hệ thức Vi-ét chính là "cỗ máy thần kỳ" cho phép chúng ta khám phá mối quan hệ sâu sắc giữa các nghiệm đó mà không cần phải giải tường minh. Công cụ này được đặt theo tên nhà toán học François Viète, người đã phát hiện ra nó.

Định lý Vi-ét (Thuận và Đảo)

Định lý thuận: Phát biểu công thức tính Tổng (\[S=x_1+x_2\]) và Tích (\[P=x_1x_2\]) của hai nghiệm.

Nếu phương trình bậc hai \[ax^2+bx+c=0\] (với \[a \ne 0\]) có hai nghiệm là \[x_1\] và \[x_2\], thì tổng và tích của hai nghiệm đó được tính như sau: \[ S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \] Lưu ý quan trọng: Định lý này chỉ được áp dụng khi phương trình đã có nghiệm (tức là \[\Delta \ge 0\]).

Định lý đảo: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.

Nếu hai số có tổng là \[S\] và tích là \[P\], thì hai số đó là nghiệm của phương trình: \[ x^2 - Sx + P = 0 \] Điều kiện để tồn tại hai số đó là phương trình trên phải có nghiệm, tức là \[\Delta = S^2 - 4P \ge 0\].

Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm siêu tốc

Dựa vào hệ thức Vi-ét, ta có các trường hợp nhẩm nghiệm đặc biệt giúp giải phương trình trong vài giây.

Trường hợp đặc biệt \[a+b+c=0 \implies x_1=1, x_2=\frac{c}{a}\].

Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0, thì phương trình chắc chắn có một nghiệm bằng 1. Nghiệm còn lại là \[c/a\].

Ví dụ cho trường hợp \[a+b+c=0\]

Giải phương trình \[2x^2 + 3x - 5 = 0\].

• Phân tích: Ta thấy các hệ số \[a=2\], \[b=3\], \[c=-5\].
• Nhẩm nghiệm: Ta có \[a+b+c = 2 + 3 + (-5) = 0\].
• Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[x_1=1\] và \[x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{2}\].

Trường hợp đặc biệt \[a−b+c=0 \implies x_1=−1, x_2=−\frac{c}{a}\].

Nếu \[a - b + c = 0\], thì phương trình chắc chắn có một nghiệm bằng -1. Nghiệm còn lại là \[-c/a\].

Ví dụ cho trường hợp \[a-b+c=0\]

Giải phương trình \[3x^2 - 7x - 10 = 0\].

• Phân tích: Ta thấy các hệ số \[a=3\], \[b=-7\], \[c=-10\].
• Nhẩm nghiệm: Ta có \[a-b+c = 3 - (-7) - 10 = 3 + 7 - 10 = 0\].
• Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[x_1=-1\] và \[x_2 = -\frac{c}{a} = -(\frac{-10}{3}) = \frac{10}{3}\].

Ứng dụng 2: Tính giá trị các biểu thức đối xứng của nghiệm mà không cần giải phương trình

Đây là ứng dụng phổ biến nhất của Vi-ét trong các bài toán chứa tham số. Ta có thể tính giá trị của các biểu thức phức tạp chỉ thông qua tổng \[S\] và tích \[P\].

Hướng dẫn biến đổi các biểu thức thường gặp về S và P.

\[A=x_1^2+x_2^2=S^2−2P\].

• Chứng minh: \[x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P\].

\[B=x_1^3+x_2^3=S^3−3SP\].

• Chứng minh: \[x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = S \cdot ((x_1^2 + x_2^2) - x_1x_2) = S \cdot ((S^2 - 2P) - P) = S(S^2 - 3P) = S^3 - 3SP\].

\[C=|x_1−x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\].

• Chứng minh: \[C^2 = (x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (S^2 - 2P) - 2P = S^2 - 4P\]. \[S^2 - 4P = (-\frac{b}{a})^2 - 4(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2} = \frac{b^2-4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}\]. Do đó, \[C^2 = \frac{\Delta}{a^2} \implies C = \sqrt{\frac{\Delta}{a^2}} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\].

Ứng dụng 3: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó.

Ví dụ: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \[x_1=3\] và \[x_2=5\].

• Tính S và P: \[S = x_1 + x_2 = 3 + 5 = 8\] \[P = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 5 = 15\]
• Áp dụng định lý Vi-ét đảo: Hai số này là nghiệm của phương trình \[x^2 - Sx + P = 0\].
• Kết luận: Phương trình cần lập là \[x^2 - 8x + 15 = 0\].

Các dạng toán nâng cao và bài toán thực tế

Biện luận phương trình bậc hai chứa tham số m

Đây là dạng toán cốt lõi trong các đề thi tuyển sinh, sử dụng kết hợp \[\Delta\] và Vi-ét.

Dạng 1: Tìm m để phương trình có nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.

• Phương pháp:
  1. Tính biệt thức \[\Delta\] (hoặc \[\Delta'\]) theo tham số \[m\].
  2. Biện luận dựa trên dấu của \[\Delta\]:
     • PT có 2 nghiệm phân biệt (\iff) \[\Delta > 0\].
     • PT có nghiệm kép (\iff) \[\Delta = 0\].
     • PT có nghiệm (tức là có 2 nghiệm pb hoặc nghiệm kép) (\iff) \[\Delta \ge 0\].
     • PT vô nghiệm (\iff) \[\Delta < 0\].
  3. Giải các bất phương trình / phương trình tương ứng để tìm \[m\].

Dạng 2: Tìm m để nghiệm thỏa mãn một hệ thức liên quan đến Vi-ét (ví dụ: \[x_1^2+x_2^2=k\]).

• Phương pháp:
  1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (thường là \[\Delta \ge 0\]).
  2. Viết biểu thức tổng \[S\] và tích \[P\] của hai nghiệm theo \[m\].
  3. Biến đổi hệ thức của đề bài về dạng chỉ chứa \[S\] và \[P\].
  4. Thay các biểu thức ở bước 2 vào, giải phương trình để tìm \[m\].
  5. Đối chiếu giá trị \[m\] tìm được với điều kiện ở bước 1.

Các phương trình quy về bậc hai

Phương trình trùng phương \[ax^4+bx^2+c=0\].

• Phương pháp:
  1. Đặt \[t = x^2\]. Điều kiện \[t \ge 0\].
  2. Phương trình trở thành \[at^2 + bt + c = 0\].
  3. Giải phương trình bậc hai theo ẩn \[t\], tìm các nghiệm \[t_1, t_2\].
  4. Đối chiếu với điều kiện \[t \ge 0\], loại các nghiệm âm.
  5. Với mỗi nghiệm \[t \ge 0\] nhận được, giải \[x^2 = t\] để tìm \[x\].

Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa căn thức.

Cần đặt điều kiện xác định, sau đó dùng các phép biến đổi (quy đồng, bình phương hai vế) để đưa về phương trình bậc hai. Cuối cùng phải đối chiếu nghiệm với điều kiện ban đầu.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai

Các bước thực hiện.

1. Bước 1 (Lập phương trình): Chọn một đại lượng làm ẩn (thường là đại lượng đề bài hỏi), đặt điều kiện cho ẩn. Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn. Dựa vào mối quan hệ trong bài toán để lập một phương trình bậc hai.
2. Bước 2 (Giải phương trình): Giải phương trình bậc hai vừa lập.
3. Bước 3 (Đối chiếu và kết luận): So sánh các nghiệm tìm được với điều kiện ban đầu, loại nghiệm không phù hợp và trả lời câu hỏi của bài toán.

Ví dụ về bài toán hình học (tính cạnh), bài toán chuyển động, bài toán năng suất.

Ví dụ: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 4m và diện tích bằng 320m². Tính chu vi mảnh đất.

• Giải:
  1. Gọi chiều rộng là \[x\] (m). Điều kiện \[x > 0\]. Chiều dài là \[x+4\].
  2. Diện tích là 320m²: \[x(x+4) = 320 \iff x^2 + 4x - 320 = 0\].
  3. Giải phương trình bằng \[\Delta'\]: \[\Delta' = 2^2 - 1(-320) = 324\]. \[\sqrt{\Delta'} = 18\].
  4. Nghiệm: \[x_1 = -2 + 18 = 16\] (nhận), \[x_2 = -2 - 18 = -20\] (loại).
  5. Chiều rộng là 16m, chiều dài là 20m.
  6. Chu vi: \[2(16+20) = 72\] m.

Kho bài tập tự luyện từ cơ bản đến vận dụng cao (Có lời giải chi tiết)

Bài tập nhận dạng và giải phương trình bậc hai đặc biệt.

Bài 1: Giải phương trình \[5x^2 + 9x = 0\].

Bài 2: Giải phương trình \[ -3x^2 + 75 = 0 \].

Bài 3: Không dùng công thức nghiệm, hãy giải phương trình \[ 2x^2 + 7x - 9 = 0 \].

Bài tập áp dụng công thức nghiệm \[\Delta\] và \[\Delta'\].

Bài 4: Giải phương trình \[ 2x^2 - 7x + 3 = 0 \].

Bài 5: Giải phương trình \[ 9x^2 + 6x + 1 = 0 \].

Bài 6: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình \[ 5x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0 \].

Bài tập ứng dụng hệ thức Vi-ét.

Bài 7: Cho phương trình \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \]. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \[ A = x_1^2 + x_2^2 \].

Bài 8: Cho phương trình \[ 2x^2 - 5x + 1 = 0 \]. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \[ B = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \].

Bài tập về biện luận phương trình chứa tham số m.

Bài 9: Cho phương trình \[ x^2 - 2(m-1)x + m^2 - 3 = 0 \]. Tìm \[m\] để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 10: Cho phương trình \[ x^2 - 4x + m - 1 = 0 \]. Tìm \[m\] để phương trình có hai nghiệm \[x_1, x_2\] thỏa mãn hệ thức \[ x_1^2 + x_2^2 = 10 \].

Lời giải chi tiết và phân tích lỗi sai cho tất cả bài tập.

Lời giải Bài 1: Đây là dạng phương trình khuyết hệ số \[c\]. \[ 5x^2 + 9x = 0 \] \[ \iff x(5x + 9) = 0 \] \[ \iff \begin{cases} x = 0 \ 5x + 9 = 0 \end{cases} \] \[ \iff \begin{cases} x_1 = 0 \ x_2 = -\frac{9}{5} \end{cases} \]

Kết luận: Phương trình có tập nghiệm \[ S = {0; -\frac{9}{5}} \].

• Phân tích lỗi sai: Lỗi thường gặp là học sinh chia cả hai vế cho \[x\], làm mất nghiệm \[x=0\]. Luôn nhớ rằng khi ẩn số có thể bằng 0, ta không được phép chia.

Lời giải Bài 2: Đây là dạng phương trình khuyết hệ số \[b\]. \[ -3x^2 + 75 = 0 \] \[ \iff -3x^2 = -75 \] \[ \iff x^2 = 25 \] \[ \iff x = \pm 5 \]

Kết luận: Phương trình có tập nghiệm \[ S = {-5; 5} \].

• Phân tích lỗi sai: Học sinh thường chỉ tìm ra nghiệm dương \[x=5\] mà quên mất nghiệm âm \[x=-5\]. Luôn nhớ rằng phương trình \[x^2 = k\] (với \[k>0\]) có hai nghiệm đối nhau.

Lời giải Bài 3: Đây là dạng nhẩm nghiệm đặc biệt. \[ 2x^2 + 7x - 9 = 0 \] Xác định các hệ số: \[a=2\], \[b=7\], \[c=-9\]. Ta thấy \[ a + b + c = 2 + 7 + (-9) = 0 \]. Do đó, phương trình chắc chắn có một nghiệm \[x_1 = 1\]. Nghiệm còn lại là \[ x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-9}{2} \].

Kết luận: Phương trình có tập nghiệm \[ S = {1; -\frac{9}{2}} \].

• Phân tích lỗi sai: Học sinh thường không kiểm tra các trường hợp nhẩm nghiệm đặc biệt (\[a+b+c=0\] hoặc \[a-b+c=0\]) mà vội vàng tính \[\Delta\], làm mất thời gian và tăng nguy cơ sai sót tính toán.

Lời giải Bài 4: Giải bằng công thức nghiệm tổng quát \[\Delta\]. \[ 2x^2 - 7x + 3 = 0 \] Xác định hệ số: \[a=2\], \[b=-7\], \[c=3\]. Tính biệt thức Delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 \] Vì \[\Delta > 0\], phương trình có hai nghiệm phân biệt. Ta có \[\sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5\]. Áp dụng công thức nghiệm: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) + 5}{2(2)} = \frac{12}{4} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) - 5}{2(2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Kết luận: Phương trình có tập nghiệm \[ S = {\frac{1}{2}; 3} \].

• Phân tích lỗi sai: Sai lầm phổ biến nhất là sai dấu khi thay hệ số \[b\] vào công thức. Luôn nhớ rằng công thức là \[-b\], vậy nếu \[b\] âm thì \[-b\] sẽ dương.

Lời giải Bài 5: Giải bằng công thức nghiệm tổng quát \[\Delta\]. \[ 9x^2 + 6x + 1 = 0 \] Xác định hệ số: \[a=9\], \[b=6\], \[c=1\]. Tính biệt thức Delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(9)(1) = 36 - 36 = 0 \] Vì \[\Delta = 0\], phương trình có nghiệm kép. Áp dụng công thức nghiệm kép: \[ x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(9)} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3} \]

Kết luận: Phương trình có nghiệm kép \[x = -\frac{1}{3}\].

• Phân tích lỗi sai: Khi tính \[\Delta=0\], một số học sinh kết luận phương trình có một nghiệm mà không dùng từ "nghiệm kép", điều này có thể gây mất điểm trong các bài toán biện luận.

Lời giải Bài 6: Giải bằng công thức nghiệm thu gọn \[\Delta'\]. \[ 5x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0 \] Xác định hệ số: \[a=5\], \[b=-2\sqrt{5}\], \[c=1\]. Vì \[b\] chẵn, ta có \[b' = \frac{b}{2} = -\sqrt{5}\]. Tính biệt thức Delta phẩy: \[ \Delta' = (b')^2 - ac = (-\sqrt{5})^2 - (5)(1) = 5 - 5 = 0 \] Vì \[\Delta' = 0\], phương trình có nghiệm kép. Áp dụng công thức nghiệm kép thu gọn: \[ x_1 = x_2 = \frac{-b'}{a} = \frac{-(-\sqrt{5})}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]

Kết luận: Phương trình có nghiệm kép \[x = \frac{\sqrt{5}}{5}\].

• Phân tích lỗi sai: Học sinh quên không dùng ngoặc khi bình phương \[b'\] chứa căn và dấu âm, dẫn đến tính sai \[\Delta'\]. Ví dụ: viết \[-\sqrt{5}^2 = -5\] (sai) thay vì \[(-\sqrt{5})^2=5\] (đúng).

Lời giải Bài 7: Áp dụng hệ thức Vi-ét. \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \] Xác định hệ số: \[a=1\], \[b=-8\], \[c=15\]. Kiểm tra điều kiện có nghiệm: \[\Delta' = (-4)^2 - 1(15) = 16 - 15 = 1 > 0\]. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \[ S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{1} = 8 \] \[ P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{15}{1} = 15 \] Biến đổi biểu thức A: \[ A = x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P \] Thay giá trị \[S\] và \[P\] vào: \[ A = 8^2 - 2(15) = 64 - 30 = 34 \]

Kết luận: Giá trị của biểu thức A là \[34\].

• Phân tích lỗi sai: Sai lầm nghiêm trọng nhất là áp dụng Vi-ét ngay mà không kiểm tra điều kiện có nghiệm (\[\Delta \ge 0\]). Nếu phương trình vô nghiệm thì hệ thức Vi-ét không có ý nghĩa.

Lời giải Bài 8: Áp dụng hệ thức Vi-ét. \[ 2x^2 - 5x + 1 = 0 \] Kiểm tra điều kiện có nghiệm: \[\Delta = (-5)^2 - 4(2)(1) = 25 - 8 = 17 > 0\]. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét: \[ S = x_1 + x_2 = \frac{5}{2} \] \[ P = x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \] Biến đổi biểu thức B (quy đồng mẫu số): \[ B = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2} = \frac{S}{P} \] Thay giá trị \[S\] và \[P\] vào: \[ B = \frac{5/2}{1/2} = 5 \]

Kết luận: Giá trị của biểu thức B là \[5\].

• Phân tích lỗi sai: Học sinh không biết cách biến đổi các biểu thức đối xứng về dạng chứa tổng và tích. Cần học thuộc các hằng đẳng thức và các phép biến đổi cơ bản như trong bài viết gốc.

Lời giải Bài 9: Biện luận phương trình chứa tham số. \[ x^2 - 2(m-1)x + m^2 - 3 = 0 \] Xác định hệ số: \[a=1\], \[b=-2(m-1) \implies b' = -(m-1)\], \[c=m^2-3\]. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là \[\Delta' > 0\]. Tính biệt thức Delta phẩy: \[ \Delta' = (b')^2 - ac = (-(m-1))^2 - 1(m^2-3) \] \[ \Delta' = (m-1)^2 - (m^2-3) \] \[ \Delta' = (m^2 - 2m + 1) - m^2 + 3 \] \[ \Delta' = -2m + 4 \] Cho \[\Delta' > 0\]: \[ -2m + 4 > 0 \iff -2m > -4 \iff m < 2 \]

Kết luận: Với \[m < 2\] thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

• Phân tích lỗi sai: Sai lầm khi khai triển hằng đẳng thức và sai dấu khi giải bất phương trình (quên đổi chiều bất đẳng thức khi nhân/chia cho số âm).

Lời giải Bài 10: Bài toán kết hợp \[\Delta\] và Vi-ét. \[ x^2 - 4x + m - 1 = 0 \]

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm. Xác định hệ số: \[a=1\], \[b=-4 \implies b'=-2\], \[c=m-1\]. Điều kiện có nghiệm là \[\Delta' \ge 0\]. \[ \Delta' = (-2)^2 - 1(m-1) = 4 - m + 1 = 5 - m \] \[ \Delta' \ge 0 \iff 5 - m \ge 0 \iff m \le 5 \]

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét. Với \[m \le 5\], phương trình có hai nghiệm \[x_1, x_2\] thỏa mãn: \[ S = x_1 + x_2 = 4 \] \[ P = x_1 \cdot x_2 = m - 1 \]

Bước 3: Xử lý yêu cầu bài toán. \[ x_1^2 + x_2^2 = 10 \] \[ \iff (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 10 \] \[ \iff S^2 - 2P = 10 \] Thay các biểu thức của \[S\] và \[P\] theo \[m\] vào: \[ 4^2 - 2(m-1) = 10 \] \[ 16 - 2m + 2 = 10 \] \[ 18 - 2m = 10 \] \[ 2m = 8 \implies m = 4 \]

Bước 4: Đối chiếu điều kiện. Giá trị \[m=4\] thỏa mãn điều kiện \[m \le 5\].

Kết luận: Vậy \[m=4\] là giá trị cần tìm.

• Phân tích lỗi sai: Học sinh thường quên Bước 1 (tìm điều kiện \[\Delta \ge 0\]). Nếu không có bước này, dù giải ra \[m\] đúng về mặt tính toán nhưng không thỏa mãn điều kiện, bài toán vẫn sẽ không có điểm.

Những sai lầm "chết người" cần tránh và mẹo cần nhớ

Top 5 sai lầm học sinh thường mắc phải.

Sai lầm 1: Quên điều kiện \[a \ne 0\] khi biện luận phương trình chứa tham số.

Khi hệ số \[a\] chứa tham số \[m\], phải xét riêng trường hợp \[a=0\] trước khi tính \[\Delta\].

Sai lầm 2: Xác định sai dấu của các hệ số a, b, c.

Luôn đưa phương trình về dạng chuẩn \[ax^2+bx+c=0\] rồi mới xác định hệ số.

Sai lầm 3: Tính toán sai \[\Delta\] (đặc biệt khi b hoặc c là số âm).

Luôn dùng dấu ngoặc cho các số âm khi bình phương hoặc nhân: \[\Delta = (-5)^2 - 4(1)(-2)\].

Sai lầm 4: Áp dụng hệ thức Vi-ét khi chưa chứng minh phương trình có nghiệm.

Trước khi viết "Theo hệ thức Vi-ét...", phải có dòng "Vì \[\Delta \ge 0\], phương trình có hai nghiệm..."

Sai lầm 5: Nhầm lẫn giữa nghiệm kép và một nghiệm.

Trong nhiều bài toán biện luận, trường hợp "phương trình có nghiệm" yêu cầu \[\Delta \ge 0\], bao gồm cả nghiệm kép. Đừng chỉ xét \[\Delta > 0\].

Mẹo kiểm tra nhanh kết quả bằng máy tính Casio (FX-580VNX).

Sử dụng chức năng giải phương trình bậc hai: MENU -> 9 -> 2 -> 2. Nhập các hệ số \[a, b, c\] để máy tính tìm nghiệm. Đây là cách tuyệt vời để kiểm tra đáp số sau khi đã giải tay.

Câu hỏi thường gặp (FAQ)

"Nghiệm kép" và "một nghiệm" có giống nhau không?

Về mặt số lượng nghiệm, chúng giống nhau (chỉ có một giá trị của \[x\]). Nhưng về bản chất, "nghiệm kép" (\[\Delta=0\]) là trường hợp đặc biệt của việc phương trình có hai nghiệm \[x_1, x_2\] và hai nghiệm đó tình cờ bằng nhau.

Khi nào bắt buộc phải dùng công thức nghiệm tổng quát thay vì nhẩm nghiệm?

Khi phương trình không rơi vào các trường hợp đặc biệt (khuyết, \[a+b+c=0\], \[a-b+c=0\]), bạn bắt buộc phải dùng công thức nghiệm.

Hệ thức Vi-ét có đúng khi phương trình vô nghiệm không?

Không. Hệ thức Vi-ét chỉ áp dụng cho các nghiệm có thật của phương trình. Nếu phương trình vô nghiệm (trong tập số thực), hệ thức này không có ý nghĩa.

Tại sao lại gọi phương trình bậc hai là "quadratic equation" trong tiếng Anh?

Từ "quadratic" bắt nguồn từ "quadratus", một từ Latin có nghĩa là "hình vuông". Điều này ám chỉ đến hạng tử bậc hai (\[x^2\]), vốn là diện tích của một hình vuông có cạnh là \[x\].

Tổng kết và Sơ đồ tư duy

Tóm tắt toàn bộ kiến thức bằng sơ đồ tư duy (mindmap).

• Phương trình bậc hai: \[ax^2+bx+c=0\] (\[a \ne 0\])
  • Các dạng đặc biệt:
    • Khuyết \[c\] (\implies) Đặt nhân tử chung.
    • Khuyết \[b\] (\implies) Chuyển vế.
  • Phương pháp giải tổng quát: Dùng Biệt thức \[\Delta\]
    • \[\Delta = b^2 - 4ac\] (Hoặc \[\Delta' = b'^2 - ac\])
    • \[\Delta > 0\]: 2 nghiệm phân biệt (\implies) \[x_{1,2} = \dots\]
    • \[\Delta = 0\]: Nghiệm kép (\implies) \[x_1=x_2 = \dots\]
    • \[\Delta < 0\]: Vô nghiệm.
  • Hệ thức Vi-ét (Khi \[\Delta \ge 0\]):
    • Tổng nghiệm: \[S = -\frac{b}{a}\]
    • Tích nghiệm: \[P = \frac{c}{a}\]
    • Ứng dụng: Nhẩm nghiệm, tính biểu thức đối xứng, lập phương trình mới.
  • Ứng dụng:
    • Giải các bài toán nâng cao (chứa tham số, quy về bậc hai).
    • Giải các bài toán thực tế.

Lời khuyên để học tốt và đạt điểm cao trong các kỳ thi.

Chìa khóa để làm chủ phương trình bậc hai là luyện tập. Hãy giải thật nhiều bài tập, từ các dạng cơ bản đến nâng cao. Luôn trình bày bài làm một cách cẩn thận, rõ ràng từng bước. Đừng ngại sử dụng các công cụ như máy tính bỏ túi để kiểm tra lại kết quả, nhưng hãy đảm bảo bạn hiểu sâu sắc bản chất của từng phương pháp.

"Hãy bắt đầu luyện tập ngay với kho bài tập của chúng tôi và để lại bình luận nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào!"