Hướng dẫn Cách Học Tốt Hình Học 11 Cho Người Mất Gốc

Cách Học Tốt Hình Học 11 Cho Người Mất Gốc

I. Chân dung “người mất gốc” trong Hình học 11

Để xây lại một căn nhà, ta phải kiểm tra móng. Với Hình học trong toán 11, ba mảng nền thường “sụp”:
① Hình học phẳng lớp 10 (quan hệ song song – vuông góc).
② Kỹ năng vẽ và đọc phối cảnh.
③ Khả năng gắn hình – đại số (viết vectơ, lập phương trình).

Nếu bạn:

bối rối khi giáo viên vẽ hình chóp và hỏi “góc giữa hai đường”,
run tay khi phải xác định hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng,
nhìn công thức \[ d = \frac{|(\vec u_1\times\vec u_2)\cdot\vec{AB}|}{\|\vec u_1\times\vec u_2\|} \] mà… choáng,

thì bài viết này dành cho bạn. Từ nay, bạn sẽ học bằng tư duy hình ảnh thay vì “nhồi công thức”.

II. Hệ “GPS” 3 trụ: Hình ảnh – Vectơ – Đại số

1. Hình ảnh (Picture)

Mỗi khái niệm phải gắn với ảnh 2 giây: ví dụ, khoảng cách điểm–mặt = “chiếc đinh đóng vuông góc lên tường”.

2. Vectơ (Model)

Chuyển ảnh thành vectơ. Đinh ↔ vectơ pháp tuyến; tường ↔ mặt phẳng. Não “nhìn” vectơ 3D dễ hơn chuỗi số.

3. Đại số (Formula)

Cuối cùng mới viết công thức. Ví dụ, từ câu chuyện “đinh–tường”, ta tự suy ra:

\[ d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \]

và nhớ rất lâu.

III. Lộ trình 8 tuần “tái thiết hình học”

Tuần	Chủ đề	Mục tiêu vi mô	Sản phẩm
1	Song song – vuông góc cơ bản	Thuộc 15 định lý phẳng	Sơ đồ tư duy A3
2	Vectơ & hệ trục Oxyz	Thao tác cộng, nhân có hướng	20 bài vectơ 3D
3	Góc giữa 2 đường	Combo “Chấm/Nhân”	Clip 1′ giảng lại
4	Góc đường – mặt	Khẩu quyết “SINh từ bóng”	Thí nghiệm đèn pin
5	Khoảng cách điểm–mặt	“Tháp Eiffel mini”	Mô hình que kem
6	Khoảng cách 2 đường	Tàu & máy bay	10 bài chuyên đề
7	Phép biến hình	GeoGebra 3D AR	Album 5 ảnh
8	Đề tổng hợp	Điểm ≥ 8 đ/10	2 đề & Error Log

Mỗi tuần ≈ 6 giờ (≈ 50′/ngày).

IV. Công thức “cốt lõi” – học theo ngữ cảnh, không học vẹt

1. Tích vô hướng – góc 2 vectơ

\[ \vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta \] Ngữ cảnh: Bạn bắt chéo 2 bút bi. Độ mở giữa bút chính là \( \theta \).

2. Góc giữa 2 đường thẳng

\[ \cos\theta=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}. \]

3. Góc giữa đường & mặt

\[ \sin\varphi = \frac{|\vec u\cdot\vec n|}{\|\vec u\|\,\|\vec n\|}. \]

4. Khoảng cách điểm–mặt

Giải thích bằng “đinh–tường”:

\[ d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. \]

5. Khoảng cách 2 đường chéo nhau

\[ d=\frac{|(\vec u_1\times\vec u_2)\cdot\vec{AB}|}{\|\vec u_1\times\vec u_2\|}. \]

V. 40 Bài Tập Mẫu Có Lời Giải Tóm Tắt (chia 5 mảng)

((*)Một số ví dụ gợi ý)

Mỗi mảng gồm 8 bài – lời giải được trình bày cô đọng để bạn tự so chiếu. Khi luyện tập, hãy vẽ hình, tự bấm Casio rồi mới xem đáp án!

Mảng 1 – Góc giữa hai đường thẳng (8 bài)

Ví dụ mẫu: Cho \( \vec u=(1,2,3),\ \vec v=(3,2,1) \). \[ \cos\theta=\frac{10}{\sqrt{14}\sqrt{14}}=\frac57\Longrightarrow\theta\approx45^\circ. \]
Cho \( \vec u=(2,-1,4),\ \vec v=(1,3,-2) \). \[ \vec u\!\cdot\!\vec v = 2-3-8=-9;\; \|\vec u\|=\sqrt{21},\;\|\vec v\|=\sqrt{14}\Rightarrow \cos\theta=\frac{9}{\sqrt{294}}\approx0,525\;\Rightarrow\theta\approx58^\circ. \]
Đường \(d_1:\,\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{1}\), \(d_2:\,\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z}{-2}\). Vectơ \( \vec u=(2,-1,1),\ \vec v=(1,2,-2)\Rightarrow \cos\theta=\dfrac{2(-1)+(-1)2+1(-2)}{\sqrt{6}\sqrt{9}}=-\dfrac{6}{\sqrt{54}}\Rightarrow\theta\approx135^\circ\;(góc nhọn =45^\circ).\)
\( \vec u=(0,1,1),\; \vec v=(1,1,0) \Rightarrow \vec u\cdot\vec v=1,\; \|\vec u\|=\sqrt2,\;\|\vec v\|=\sqrt2\Rightarrow\theta=60^\circ.\)
Đường song song trục \(Ox\): \(\vec u=(1,0,0)\), đường song song \(Oz\): \(\vec v=(0,0,1)\Rightarrow\theta=90^\circ.\)
Cho \( \vec u=(3,0,4),\ \vec v=(-6,0,-8)\Rightarrow\vec v=-2\vec u\Rightarrow\theta=0^\circ\;(trùng hướng).\)
Cho \( \vec u=(1,1,1),\ \vec v=(1,-1,0)\Rightarrow \cos\theta=\tfrac{0}{\sqrt3\sqrt2}=0\Rightarrow\theta=90^\circ.\)
Hai đường chéo của hình lập phương cạnh a: \( \vec u=(a,a,a),\ \vec v=(a,-a,a)\Rightarrow\cos\theta=\tfrac{a^2}{3a^2}= \tfrac13\Rightarrow\theta\approx70{,}53^\circ.\)

Mảng 2 – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (8 bài)

Đường \(d:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-1}\) cắt mặt \( (P): x+2y+2z-5=0 \). \( \vec u=(2,1,-1),\ \vec n_P=(1,2,2)\Rightarrow \sin\varphi=\frac{|2\!-\!2\!-\!2|}{\sqrt6\sqrt9}=\frac{2}{3}\Rightarrow\varphi\approx41{,}8^\circ.\)
Đường vuông góc \(Ox\) (\(\vec u=(1,0,0)\)), mặt \(y+z=3\). \( \vec n=(0,1,1) \). \(\sin\varphi=\tfrac0{\sqrt1\sqrt2}=0\Rightarrow\varphi=0^\circ\;(đường nằm trong mặt).\)
Đường \(d:(1+t,2t,3-t)\), mặt \( (P):2x-y+z=0\). \( \vec u=(1,2,-1),\ \vec n=(2,-1,1)\Rightarrow \sin\varphi=\dfrac{|2-2-1|}{\sqrt6\sqrt6}=\dfrac{1}{6}\sqrt6\approx0,408\Rightarrow\varphi\approx24^\circ.\)
Trục \(Oz\) với mặt \(x+2y=0\): \(\vec u=(0,0,1),\ \vec n=(1,2,0)\Rightarrow\sin\varphi=\tfrac0{\sqrt1\sqrt5}=0\Rightarrow\varphi=0^\circ\;(đường nằm trong mặt).\)
Đường cao của hình chóp vuông góc đáy ⇒ \(\varphi=90^\circ\).
Đường sườn hình nón tạo góc 30° với đáy ⇒ \(\varphi=30^\circ\).
Cho \(d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{2}\), \( (P):x-y+z-4=0\). \(\sin\varphi=\frac{|1-1+2|}{\sqrt6\sqrt3}\approx0,577\Rightarrow\varphi\approx35^\circ.\)
Đường \(d\) song song \( (P)\Rightarrow\varphi=0^\circ\).

Mảng 3 – Góc giữa hai mặt phẳng (8 bài)

\((P_1):2x-y+2z=1,\;(P_2):x+y-z=3\). \(\vec n_1=(2,-1,2),\ \vec n_2=(1,1,-1)\Rightarrow \cos\theta=\tfrac{|-1|}{3\sqrt3}\approx0,192\Rightarrow\theta\approx79^\circ.\)
\((P_1):x+y+z=0\) và \((P_2):x+2y+2z=0\). \(\cos\theta=\tfrac{1+2+2}{\sqrt3\sqrt9}=\tfrac56\Rightarrow\theta\approx34^\circ.\)
Hai mặt phẳng song song có \(\theta=0^\circ\).
Mặt phẳng đáy hình chóp và mặt bên vuông góc ⇒ \(\theta=90^\circ\).
\((P_1):3x-y+4z=0\), \((P_2):6x-2y+8z=5\) (song song vì vectơ pháp tuyến tỉ lệ) ⇒ \(\theta=0^\circ\).
\((P_1):x-2y+2z=0\), \((P_2):-2x+4y-4z=7\) ⇒ cũng song song, \(\theta=0^\circ\).
\((P_1):x=0\) (mặt \(OyZ\)), \((P_2):z=0\) (mặt \(Oxy\)) ⇒ hai mặt phẳng vuông góc, \(\theta=90^\circ\).
Mặt phẳng \(x+y+z=1\) và \(x-y+z=2\): \(\vec n_1=(1,1,1),\ \vec n_2=(1,-1,1)\Rightarrow \cos\theta=\tfrac{1-1+1}{\sqrt3\sqrt3}=\tfrac13\Rightarrow\theta\approx70^\circ.\)

Mảng 4 – Khoảng cách điểm – mặt, điểm – đường (8 bài)

Điểm \(M(1,2,3)\), mặt \(2x-y+2z-4=0\): \[ d=\frac{|2-2+6-4|}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}. \]
\(N(0,3,-1)\) đến mặt \(x+2y+2z=1\): \(d=\dfrac{|0+6-2-1|}{\sqrt{9}}=\dfrac{3}{3}=1.\)
\(P(2,1,0)\) đến đường qua \(A(0,0,0)\), \(\vec u=(1,1,1)\): \(\vec{AP}=(2,1,0),\;|\vec{AP}\times\vec u|=\sqrt{3},\;d=\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=1.\)
\(Q(1,2,2)\) đến \(d:(1+t,2-t,3t)\): \(\vec u=(1,-1,3),\; \vec{AQ}= (0,0,-1)\) tại \(A(1,2,0)\). \(|\vec{AQ}\times\vec u|=\sqrt{10},\;\|\vec u\|=\sqrt{11}\Rightarrow d=\sqrt{\tfrac{10}{11}}.\)
Khoảng cách từ điểm tới trục \(Oz\): chính là \( \sqrt{x^2+y^2}\).
Điểm \(R(2,-1,5)\) → mặt \(x-2y+2z+1=0\): \(d=\frac{|2+2+10+1|}{\sqrt9}=\frac{15}{3}=5.\)
Điểm \(S(0,0,5)\) → mặt phẳng đáy \(z=0\): \(d=5\).
Điểm \(T(1,1,1)\) → đường giao nhau của \(x=0\) & \(y=0\) (tức trục \(Oz\)): \(d=\sqrt2.\)

Mảng 5 – Khoảng cách hai đường chéo nhau & song song (8 bài)

Skew lines \(d_1:(t,0,t)\), \(d_2:(0,1+s,1-s)\). \(\vec u_1=(1,0,1),\ \vec u_2=(0,1,-1),\ \vec{AB}=(0,1,1)\). \[ d=\frac{|(-1,-1,1)\cdot(0,1,1)|}{\sqrt3}= \frac{0+(-1)+1}{\sqrt3}=0\Rightarrow\text{cắt nhau tại }B. \]
\(d_1:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3},\ d_2:\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-3}{-3}\) (song song) ⇒ \(d=\) khoảng cách từ điểm \(O\) tới \(d_2= \dfrac{| -1\!-\!4\!-\!9|}{\sqrt{14}}=\dfrac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}.\)
Hai cạnh bên đối diện hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh a: \(d=\tfrac{a\sqrt3}{\sqrt{2}}\) (kết quả kinh điển).
Đường chéo \(AC\) & \(B'D'\) của lập phương a: \(d=\tfrac{a}{\sqrt2}.\)
\(d_1:(1+t,2,3-t)\), \(d_2:(-1+2s,0,2s)\). \(\vec u_1=(1,0,-1),\ \vec u_2=(2,0,2),\ \vec{AB}=(2,2,3).\) \(d=\dfrac{|( -2,0,2)\cdot(2,2,3)|}{\sqrt{( -2)^2+2^2}}=\dfrac{(-4+0+6)}{2\sqrt2}=\dfrac2{2\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}.\)
Khoảng cách hai mặt phẳng song song \(x+2y-2z-3=0\) và \(x+2y-2z+5=0\): \(d=\dfrac{| -3-5|}{\sqrt9}=\dfrac{8}{3}.\)
Đường cao hai hình chóp đều đồng trục → khoảng cách = |h₁–h₂|.
Tàu & máy bay (mô tả ở thủ thuật): \(d = \dfrac{|(\vec u_1\times\vec u_2)\cdot\vec{AB}|}{\|\vec u_1\times\vec u_2\|}\) – học sinh tự lắp số.

VI. Kỹ thuật trình bày tự luận “3 tầng”

Tầng khung: Viết gạch đầu dòng ý chính.
Tầng diễn giải: Mỗi phép suy = 1 dòng.
Tầng chốt: Đóng khung kết quả, ghi điều kiện.

Tránh “câu một hàng dài” – giám khảo khó đọc và dễ trừ 0,25 đ trình bày.

VII. Tài nguyên & công cụ

GeoGebra 3D (web/app) – xoay hình, dựng mặt phẳng.
Flashcard Anki set “Hình 11 – không học vẹt” (120 thẻ).
Notebook dot‑grid – hỗ trợ vẽ phối cảnh.

VIII. Checklist “3‑2‑1” trước bài kiểm tra

3 lần nhẩm ảnh 2 giây cho mỗi công thức.
2 bài thực tế (thước & đèn pin) ôn lại.
1 phút thở 4‑7‑8 để đánh thức trí nhớ hình ảnh.

IX. Kết luận

Học giỏi Hình học toán 11 không phải “nhồi 400 công thức” mà là chuyển công thức thành ảnh, ảnh thành vectơ, vectơ thành đại số. Với lộ trình 8 tuần và bộ công cụ trong bài, bạn hoàn toàn có thể đi từ “mất gốc” tới 8 + điểm.

Hãy bắt đầu ngay: dựng cây bút vuông góc với bàn, chụp một tấm ảnh và tự giải thích tại sao khoảng cách bút‑bàn chính là công thức “đinh–tường” ở trên. Bạn sẽ ngạc nhiên về sức mạnh của tư duy hình ảnh.

Chúc bạn học vui – học sâu – học bền lâu!