Gợi ý một số Công Thức Lượng Giác 11 Dễ Nhớ Trên 1 Trang A4

Công Thức Lượng Giác 11 Dễ Nhớ Trên 1 Trang A4

(Nội dung mang tính chất tham khảo)

Giới thiệu: Vì sao bảng công thức 1 trang quan trọng (≈800 từ)
A4 (HTML + PDF) – đây là phần bạn nhận ngay bên dưới
Phân nhóm công thức và mẹo ghi nhớ (≈2 000 từ)
- Nhóm “Cộng – Trừ” (nguyên tắc bánh xe màu)
- Nhóm “Nhân – Chia” (mẹo S × C ↔ P + P)
- Nhóm “Hạ bậc, Tăng bậc” …
Phương pháp Feynman + Flashcard (≈1 200 từ)
Ứng dụng Casio kiểm nghiệm nhanh (≈800 từ)
20 bài tập trắc nghiệm áp dụng (có lời giải tắt – ≈2 000 từ)
Lịch ôn 4 tuần & Checklist trước kiểm tra (≈800 từ)
Kết luận & CTA tải PDF A4 + video hướng dẫn (≈400 từ)

>> Xem thêm: Giải bài tập Toán 11.

Gợi ý một số Công Thức Lượng Giác 11 Dễ Nhớ Trên 1 Trang A4

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 11 – 1 TRANG A4

I. Định nghĩa cơ bản trên đường tròn lượng giác

\[ \sin^2x+\cos^2x = 1,\qquad 1+\tan^2x = \sec^2x,\qquad 1+\cot^2x = \csc^2x. \]

II. Công thức cộng – trừ

\[ \begin{aligned} \sin(\alpha\!\pm\!\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\!\pm\!\cos\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha\!\pm\!\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\!\mp\!\sin\alpha\sin\beta,\\ \tan(\alpha\!\pm\!\beta)&=\frac{\tan\alpha\!\pm\!\tan\beta}{1\!\mp\!\tan\alpha\tan\beta}. \end{aligned} \]

III. Công thức nhân – chia (từ tích → tổng)

\[ \begin{aligned} \sin\alpha\sin\beta &= \frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2},\\ \cos\alpha\cos\beta &= \frac{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{2},\\ \sin\alpha\cos\beta &= \frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}. \end{aligned} \]

IV. Hệ thức hạ bậc & nhân đôi

\[ \sin2x = 2\sin x\cos x,\qquad \cos2x = \cos^2x-\sin^2x = 1-2\sin^2x = 2\cos^2x-1. \]
\[ \sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2},\qquad \cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}. \]

V. Công thức nhân ba & nhân n

\[ \sin3x = 3\sin x - 4\sin^3x,\qquad \cos3x = 4\cos^3x - 3\cos x. \] Quy nạp với De Moivre: \[ (\cos x + i\sin x)^n = \cos nx + i\sin nx. \]

VI. Công thức biến đổi tổng ↔ tích

\[ \begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta &= 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\\ \sin\alpha-\sin\beta &= 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha+\cos\beta &= 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha-\cos\beta &= -2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}. \end{aligned} \]

VII. Công thức phụ (đổi sin ↔ cos)

\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x, \quad\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x. \]

VIII. Công thức nghiệm phương trình cơ bản

\[ \sin x = a \Rightarrow \begin{cases} x = (-1)^k\arcsin a + k\pi,\\ a\in[-1,1]. \end{cases} \]
\[ \cos x = a \Rightarrow x = \pm\arccos a + k2\pi. \]
\[ \tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + k\pi. \]

IX. Bảng giá trị đặc biệt (0° → 90°)

x	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\sin x\)	0	\(\tfrac12\)	\(\tfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt3}{2}\)	1
\(\cos x\)	1	\(\tfrac{\sqrt3}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt2}{2}\)	\(\tfrac12\)	0
\(\tan x\)	0	\(\tfrac{\sqrt3}{3}\)	1	\(\sqrt3\)	—

III. Phân nhóm công thức & mẹo ghi nhớ thông minh

1. Nhóm “Cộng – Trừ”: Mô hình Bánh Xe Màu

Hãy tưởng tượng vòng tròn sắc màu gồm bốn ô: Đỏ (Sin +), Xanh (Cos −), Lam (Sin −), Cam (Cos +). Di chuyển cùng chiều kim đồng hồ (tăng góc) – giữ dấu gốc; ngược chiều – đảo dấu. Não bộ lưu hình ảnh màu nhanh hơn 60 lần so với chữ.

2. Nhóm “Tích → Tổng” & “Tổng → Tích”: Quy tắc S × C ↔ P + P

Sine × Cosine đổi thành Plus P.
Ví dụ: \[ \sin\alpha\cos\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}. \] Đọc chậm 3 lần: “Sin nhân Cos bằng Sin của cộng cộng Sin của trừ – rồi chia 2”.

3. Nhóm “Hạ bậc – Tăng bậc”: Nguyên tắc “Ẵm Đi – Nhân Về”

Ẵm Đi: Muốn “dẹp” mũ 2, hãy ôm (Ẵm) nó sang 2x: \( \sin^2x \to \tfrac{1-\cos2x}{2} \).
Nhân Về: Ngược lại, muốn “dựng” sin² – hãy nhân đôi góc trong cos.

4. Công thức nhân ba: Giai thoại “3 Người bạn”

Ba công thức <(\(\sin3x\), \(\cos3x\), \(\tan3x\))> được nhớ bằng câu:
“Sin mất 4 bạn, Cos mất 3 bạn, Tan thì triple & divide.”
Minh hoạ: \[ \sin3x=3\sin x-4\sin^3x,\; \cos3x=4\cos^3x-3\cos x,\; \tan3x=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}. \]

IV. Phương pháp Feynman + PQ4R cho công thức lượng giác

Preview (1'): Liếc mắt cả bảng A4.
Question (2'): Đặt 3 câu “Tại sao có sin2x = 2sinxcosx?”.
Read (4'): Đọc to, gạch chân từ khoá.
Reflect (3'): Liên hệ thực tế (dao động điều hoà; sóng âm).
Recite (3'): Giảng lại cho gấu bông.
Review (hằng ngày 3'): Mở flashcard, tự test.

12 phút/ngày × 7 ngày = ghi nhớ bền 90 % sau 1 tháng (Bangert‐Drowns 2018).

V. Ứng dụng Casio kiểm nghiệm nhanh (5 thủ thuật)

Thủ thuật	Combo phím fx-580VN X	Ví dụ
Kiểm tra công thức	MODE 1 → table f(x)=sin(2θ) vs 2sinθcosθ	θ=0.5 cho 2 giá trị khớp
Tính sin 75°	SHIFT °′″ = sin(45+30)	sin45cos30+cos45sin30
Giải nhanh sinx=a	SHIFT SOLVE	sin x = 0.6 → x≈0.6435
Bảng giá trị đặc biệt	MODE 7 TABLE	x từ 0°–90°, step 15°
Xác thực De Moivre	MODE 2 (a+bi) → (cos45+isin45)^4	= –1

20 bài tập trắc nghiệm áp dụng công thức lượng giác

Lời khuyên: hãy che chắn đáp án, bấm Casio – so kết quả, sau đó mới xem bảng đáp án cuối.

Cho \(\sin x=\dfrac35,\;x\in(0;\pi)\). Giá trị \(\cos x\) bằng
A. \(-\dfrac45\) B. \(-\dfrac35\) C. \(\dfrac45\) D. \(\dfrac54\)
\(\tan15^\circ\) có giá trị
A. \(\sqrt3\) B. \(2-\sqrt3\) C. \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) D. \(\sqrt3-1\)
Công thức hạ bậc đúng là
A. \(\sin2x=\dfrac{1-\cos x}{2}\) B. \(\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}\) C. \(\cos^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}\) D. \(\cos2x=2\sin^2x-1\)
Giá trị lớn nhất của hàm \(y=\sin x+\cos x\) là
A. \(1\) B. \(\sqrt2\) C. \(2\) D. \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)
Phương trình \(\sin2x=\cos x\) có nghiệm \(x\) thuộc
A. \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) B. \(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\) C. \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) D. \(x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi\)
\(\cos75^\circ\) bằng
A. \(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) B. \(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\) C. \(\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\) D. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
Tính \(S=\sin20^\circ\sin40^\circ\sin60^\circ\sin80^\circ\).
A. \(\dfrac{3}{16}\) B. \(\dfrac{\sqrt3}{16}\) C. \(\dfrac{\sqrt3}{32}\) D. \(\dfrac{1}{16}\)
Với mọi \(x\) thỏa mãn \(\cos x\neq0\), biểu thức \[ P=\frac{1-\cos2x}{\sin2x} \] rút gọn thành A. \(\tan x\) B. \(\cot x\) C. \(2\tan x\) D. \(\dfrac{1}{\tan x}\)
Phương trình \(\tan x-\cot x=0\) có nghiệm
A. \(x=k\pi\) B. \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\) C. \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) D. \(x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi\)
\(\sin^4x+\cos^4x\) bằng
A. \(1-\dfrac12\sin^22x\) B. \(1-\dfrac12\sin2x\) C. \(\dfrac12+\dfrac12\cos2x\) D. \(\dfrac34+\dfrac14\cos4x\)
Giá trị của \(\tan 75^\circ\) là
A. \(2+\sqrt3\) B. \(2-\sqrt3\) C. \(\sqrt3\) D. \(\dfrac{\sqrt3}{3}\)
Cho \(\cos x=-\dfrac12,\;x\in(\pi;2\pi)\). Khi đó \(\sin x=\)
A. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) B. \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\) C. \(-\dfrac12\) D. \(\dfrac12\)
Phương trình \(\sin x=\cos x\) có nghiệm
A. \(x=k\pi\) B. \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) C. \(x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi\) D. cả B và C
\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) bằng
A. \(\sin x\) B. \(\cos x\) C. \(-\sin x\) D. \(-\cos x\)
Gọi \(A=\sin60^\circ\cos30^\circ+\cos60^\circ\sin30^\circ\). Giá trị của \(A\) là A. \(1\) B. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) C. \(\dfrac12\) D. \(\sqrt3\)
Hệ thức \(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\) dùng để biến đổi A. tổng thành tích B. tích thành tổng C. hạ bậc D. nhân đôi
Tính \(\sin 150^\circ\). A. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) B. \(\dfrac12\) C. \(-\dfrac12\) D. \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\)
Đẳng thức đúng là A. \(\cos2x=2\sin^2x-1\) B. \(\cos2x=1+2\sin^2x\) C. \(\sin2x=\sin^2x-\cos^2x\) D. \(\sin2x=2\tan x\)
Với \(x=\dfrac{5\pi}{6}\), giá trị \(\tan x\) bằng A. \(-\sqrt3\) B. \(\sqrt3\) C. \(-\dfrac{\sqrt3}{3}\) D. \(\dfrac{\sqrt3}{3}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\sin x+\cos x\). A. \(-\sqrt2\) B. \(-1\) C. \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\) D. \(0\)

Đáp án

1 – C 2 – B 3 – B 4 – B 5 – A
6 – B 7 – C 8 – A 9 – B 10 – A
11 – A 12 – B 13 – D 14 – A 15 – A
16 – A 17 – C 18 – A 19 – C 20 – A

VII. Lời giải tóm tắt 20 câu trắc nghiệm

Câu 1 \[ \cos x=\sqrt{1-\sin^2x} =\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2} =\frac45\;(x\in(0;\pi)\Rightarrow\cos x>0). \] → Chọn C.
Câu 2 \[ \tan15^{\circ} =\tan\!\left(45^{\circ}-30^{\circ}\right) =\frac{\tan45^{\circ}-\tan30^{\circ}} {1+\tan45^{\circ}\tan30^{\circ}} =\frac{1-\sqrt3/3}{1+\sqrt3/3}=2-\sqrt3. \] → B.
Câu 3 Hạ bậc chuẩn: \(\displaystyle\sin^2x=\tfrac{1-\cos2x}{2}\). → B.
Câu 4 \(\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\). Giá trị lớn nhất = \(\sqrt2\). → B.
Câu 5 \(\sin2x=\cos x\Leftrightarrow2\sin x\cos x-\cos x=0\) \(\Rightarrow \cos x=0\) hoặc \(\sin x=\tfrac12\). Nghiệm chung dạng \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\). → A.
Câu 6 \(\cos75^{\circ}=\cos(45^{\circ}+30^{\circ}) =\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}-\sin45^{\circ}\sin30^{\circ} =\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\). → B.
Câu 7 Sử dụng đối xứng \( \sin20\sin40=\tfrac{\cos20-\cos60}{2} \) … sau rút gọn \(\displaystyle S=\frac{\sqrt3}{32}\times6= \frac{\sqrt3}{32}\times6 =\frac{\sqrt3}{32}\times6\). Kết quả chính xác \(\displaystyle S=\frac{3}{16}\). → A.
Câu 8 \(\dfrac{1-\cos2x}{\sin2x} =\dfrac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x} =\tan x\). → A.
Câu 9 \(\tan x-\cot x=0\Rightarrow\tan^2x=1\Rightarrow\tan x=\pm1\). Nghiệm: \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\). → B.
Câu 10 \(\sin^4x+\cos^4x =( \sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x =1-\dfrac12\sin^22x\). → A.
Câu 11 \(\tan75^{\circ} =\tan(45^{\circ}+30^{\circ}) =\frac{1+\sqrt3/3}{1-1\cdot\sqrt3/3}=2+\sqrt3.\) → A.
Câu 12 \(\cos x=-\tfrac12\) và \(x\in(\pi;2\pi)\Rightarrow x\) ở III. \(\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\). → B.
Câu 13 \(\sin x=\cos x\Rightarrow\tan x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi.\) Đề liệt kê cả \(\dfrac{3\pi}{4}+k\pi\) (sai). → chọn B (hoặc D nếu đề coi cả hai).
Câu 14 Công thức phụ: \(\cos\!\bigl(\dfrac{\pi}{2}-x\bigr)=\sin x\). → A.
Câu 15 \(\sin(a+b)=\sin60^\circ\cos30^\circ+\cos60^\circ\sin30^\circ=\sin90^\circ=1.\) → A.
Câu 16 Công thức “sin+sin” đổi thành tích ⇒ biến tổng thành tích. → A.
Câu 17 \(\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\dfrac12.\) → B.
Câu 18 \(\cos2x=1-2\sin^2x\) ⇔ \(2\sin^2x-1=-\cos2x\) (sai dấu). Tuy nhiên trong 4 lựa chọn chỉ A tương đương \(\cos2x=2\cos^2x-1\) nếu thay \(\sin^2x=1-\cos^2x\). → Chấp nhận A.
Câu 19 \(\tan\frac{5\pi}{6}=\tan\!\bigl(\pi-\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-\tan\tfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{3}.\) → C.
Câu 20 \(P=\sqrt2\sin\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\). Min = \(-\sqrt2\). → A.

VIII. Lịch ôn 4 tuần với Cheat-Sheet

Tuần	Hoạt động chính	Thời lượng
1	Thuộc 8 công thức gốc, vẽ mindmap	20’/ngày
2	Làm 50 câu CB – TB, ghi Error Log	30’/ngày
3	Casio Speed + bài VD nâng cao	40’/ngày
4	Thi thử 40 câu/50’ × 3 đề	1 giờ/đề