Góc & Khoảng Cách Không Gian 11: Mẹo Vẽ Hình Nhanh & GeoGebra

Góc & Khoảng Cách Trong Không Gian – Mẹo Vẽ Hình Nhanh, Kỹ Thuật Chiếu & GeoGebra 3D

1. Tổng quan góc & khoảng cách không gian (SGK 11)

1.1. Nơi xuất hiện trong chương trình & đề thi

Hình học không gian lớp 11 tập trung vào hai dạng “xương”: góc (giữa đường–đường, đường–mặt, mặt–mặt) và khoảng cách (điểm–mặt, đường–mặt, hai đường chéo nhau). Theo ma trận đề HK 1 tại 15 tỉnh (2023 – 2025):

Kết luận: 1,5 – 2 đ (15–20 %) tổng bài thi. Nếu làm chậm ở phần này, bạn “rơi tự do” từ 9 → 7.

>> Xem thêm: Đề thi Toán lớp 11.

1.2. Các công thức nền (MathJax)

\[ \cos\theta=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\quad\text{(góc giữa 2 đường)} \] \[ \sin\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec n|}{\|\vec u\|\,\|\vec n\|}\quad\text{(góc đường–mặt)} \] \[ d(M,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \] \[ d(d_1,d_2)=\frac{|(\vec u_1\times\vec u_2)\cdot\vec{AB}|}{\|\vec u_1\times\vec u_2\|} \]

2. Mẹo vẽ hình nhanh “5 Bước – 1 Phút”

2.1. Bước 0 – Set up khung trục (5 s)

• Dùng bút chì đầu 0.5, vẽ khung chữ L: trục đứng Oz nghiêng 15°, trục Ox ngang, trục Oy nghiêng 30°.

2.2. Bước 1 – “Xương sống” (10 s)

• Vẽ cạnh chính hoặc đường cao trước. • Quy tắc Thin → Thick: bút nét nhạt cho cạnh khuất, đậm cho cạnh thấy.

2.3. Bước 2 – Điền điểm trung gian (15 s)

• Dùng điểm giữa trực quan thay vì đánh dấu số đo dài.
• Phác sơ đồ vectơ (mũi tên nhỏ) giúp “thấy” pháp tuyến, hình chiếu.

2.4. Bước 3 – Ký hiệu vuông góc & song song (15 s)

Ký hiệu \( \perp \) và // giúp giám khảo “đọc” ngay giả thiết, tiết kiệm lời.

2.5. Bước 4 – Highlight góc/khoảng cách cần tìm (10 s)

Dùng bút highlighter vàng làm nổi đường chính (ví dụ \(SC\)) và phẳng chính (ví dụ \((ABCD)\)). Do đó, khi giải bạn không nhầm đối tượng.

3. Kỹ thuật chiếu (vuông góc & song song)

3.1. Chiếu vuông góc điểm → mặt

Muốn tìm hình chiếu \(H\) của \(M\) lên mặt phẳng \( (P):Ax+By+Cz+D=0\):

1. Viết đường thẳng đi qua \(M\) với vectơ pháp tuyến \(\vec n=(A,B,C)\).
2. Giao điểm đường–mặt = hình chiếu.

Casio check: MODE → 5 (Simul) nhập hệ tọa độ, giải nhanh toạ độ \(H\).

3.2. Chiếu song song (cực trị khoảng cách)

Khi hai đường chéo nhau \(d_1,d_2\), đường vuông góc chung là hình chiếu song song của \(d_1\) lên mặt phẳng vuông góc \(d_2\).

Công thức:

\[ d(d_1,d_2)=\frac{|(\vec u_1\times\vec u_2)\cdot\vec{AB}|}{\|\vec u_1\times\vec u_2\|} \]

Trong thực hành, hãy vẽ song song bằng nét đứt → xác định mặt phẳng trung gian.

3.3. “Tam giác bóng đèn” để tìm góc đường–mặt

Đặt “đèn pin” trên đường \(d\) (vectơ \(\vec u\)), rọi xuống mặt. Bóng vuông góc = hình chiếu → tạo tam giác vuông, góc nhỏ nhất chính là \(\varphi\) cần tính.

4. Hướng dẫn GeoGebra 3D – Xây dựng & đo nhanh

4.1. Cài đặt & giao diện

• WebApp: 3d.geogebra.org → không cần cài đặt.
• Mobile: GeoGebra 3D Calculator (iOS + Android).

4.2. 5 thao tác cơ bản (15 phút làm chủ)

4.3. Ví dụ nhanh: tính \( \angle(SC,(ABCD)) \)

1. Bước 1: Nhập toạ độ \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(S(0,0,a)\).
2. Bước 2: Lệnh Plane(A,B,C) → mặt đáy.
3. Bước 3: Lệnh Angle(S,C,Plane1) → GeoGebra trả \(\approx63{,}4^\circ\).

4.4. Export hình chụp & nhúng Word

Menu • Export → PNG → Transparent Background → dán vào file soạn toán.

5. Sai lầm thường gặp

6. 30 bài tập minh họa (kèm lời giải tắt)

6.1. Góc & đường (10 bài)

1. Bài 1. Cho \(\vec u=(1,2,2), \vec v=(2,1,-2)\). Tính \(\theta\).
   Giải: \(\cos\theta=\dfrac{0}{3\sqrt3}=0 ⇒ θ=90^\circ\).
2. Bài 2. … (10 bài, đều có đáp số).

6.2. Góc đường–mặt (5 bài)

11. Tính góc giữa \(d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{2}\) và \(P:x-y+z-4=0\).
    Giải: \(\sin\varphi=\dfrac{|1-1+2|}{\sqrt6\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6}{6} ⇒ \varphi≈35^\circ\).

6.3. Khoảng cách (10 bài)

16. Bài 16. \(M(1,2,3)\) đến \(P:2x-y+2z-4=0\) ⇒ \(d=2/3\).

6.4. Tổng hợp (5 bài vận dụng cao)

Chi tiết giải từng bước (hình 3D, GeoGebra script) nằm trong file 30BaiGocKhoangCach.pdf.

7. Checklist trình bày tự luận “SPACER–H” (8 bước)

1. Sketch – phác nhanh hình.
2. Para – ghi Giả thiết + Kết luận.
3. Assume – đặt ẩn, toạ độ.
4. Calc – tính bước lớn.
5. Evaluate – xét điều kiện.
6. Result – khung đáp số.
7. Highlight – đánh dấu góc/khoảng cách tìm được trên hình.

Giám khảo dễ “soi” thiếu bước E & H – nhắc nhở học sinh viết câu “(thỏa mãn điều kiện)”.

8. Casio & GeoGebra speed-tips

9. VÍ DỤ ĐỀ THI HỌC KỲ 1 – TOÁN 11 (Đề tổng hợp)

Thời gian: 90 phút – Không kể thời gian phát đề

A. 30 câu trắc nghiệm (mỗi câu 0,2 đ). Khoanh A–B–C–D.

1. (LG1) Giá trị lớn nhất của \(f(x)=\sin x+\cos x\) là A. 1 B. \(\sqrt2\) C. \(2\) D. \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)
2. (LG2) \(\displaystyle\cos15^\circ=\) A. \(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) B. \(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\) C. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) D. \(\dfrac12\)
3. (LG3) Nghiệm nhỏ nhất dương của \(2\sin x-\sqrt3=0\) là A. \(\dfrac{\pi}{6}\) B. \(\dfrac{\pi}{3}\) C. \(\dfrac{\pi}{2}\) D. \(\dfrac{5\pi}{6}\)
4. (LG4) Đẳng thức đúng: A. \(\sin^2x+\cos^2x=1\) B. \(\sin2x=\sin^2x-\cos^2x\) C. \(\cos2x=1+2\sin^2x\) D. \(\tan2x=2\tan x\)
5. (LG5) Với \(\sin x=\dfrac35,\;x\in(0;\pi)\). Khi đó \(\cos x=\) A. \(-\dfrac45\) B. \(\dfrac45\) C. \(\dfrac35\) D. \(-\dfrac35\)
6. (LG6) \(\displaystyle \sin75^\circ=\) A. \(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\) B. \(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) C. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) D. \(\dfrac12\)
7. (LG7) Phương trình \(\tan x-\cot x=0\) có nghiệm A. \(x=k\pi\) B. \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}\) C. \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) D. \(x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi\)
8. (LG8) \(\displaystyle\sin^4x+\cos^4x\) rút gọn thành A. \(1-\dfrac12\sin^22x\) B. \(1-\dfrac12\cos2x\) C. \(\dfrac34+\dfrac14\cos4x\) D. \(\dfrac12+\dfrac12\cos2x\)
9. (LG9) \(\displaystyle\cos\!\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-x\Bigr)=\) A. \(\sin x\) B. \(-\sin x\) C. \(\cos x\) D. \(-\cos x\)
10. (LG10) Giá trị của \(\tan75^\circ\) bằng A. \(2+\sqrt3\) B. \(2-\sqrt3\) C. \(\sqrt3\) D. \(\dfrac{\sqrt3}{3}\)
11. (CS1) CSC \(u_1=2,d=3\). Tính \(u_{15}\). A. 44 B. 45 C. 47 D. 48
12. (CS2) Tổng 10 số hạng đầu CSC trên bằng A. 155 B. 160 C. 165 D. 170
13. (CS3) CSN \(v_1=4,q=2\). Tính \(v_8\). A. 512 B. 256 C. 1024 D. 128
14. (CS4) Tổng vô hạn CSN \(5+\dfrac52+\dfrac54+\dots\) là A. 10 B. 15 C. 8 D. 9
15. (CS5) CSC có \(u_5=10,u_{10}=35\). Hiệu công sai \(d\) = ? A. 5 B. 6 C. 4 D. 7
16. (CS6) Với CSC \((u_n)\) công sai \(d\neq0\). Phát biểu đúng: A. \(S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}\) B. \(u_n=\dfrac{S_n}{n}\) C. \(d=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) D. \(u_n=\dfrac{S_n-S_{n-1}}{n}\)
17. (CS7) Gửi 20 triệu lãi kép 6 %/năm, 5 năm thu ? A. ≈ 26,8 tr B. ≈ 25 tr C. ≈ 28,4 tr D. ≈ 24,5 tr
18. (CS8) Số hạng thứ n của CSN thoả \(S_n=255,v_1=3,q=2\). Tìm n. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
19. (GH1) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\) A. \(\dfrac12\) B. 0 C. 1 D. 2
20. (GH2) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
21. (GH3) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\) A. \(\dfrac23\) B. \(\dfrac13\) C. 1 D. \(\dfrac12\)
22. (GH4) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{k}{x}\right)^x\) bằng A. \(e^{k}\) B. \(k\) C. 1 D. \(\infty\)
23. (GH5) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)}{x}=\) A. 1 B. 2 C. 0 D. \(\infty\)
24. (GH6) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}-1}{x}=\) A. 1 B. 0 C. \(e\) D. 2
25. (H1) Khoảng cách \(M(1,2,3)\) đến mặt \(2x-y+2z-4=0\) là A. \(2/3\) B. 1 C. \(4/3\) D. 2
26. (H2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \(x+2y-2z-3=0\) & \(x+2y-2z+5=0\) là A. \(8/3\) B. \(4/3\) C. 4 D. \(\sqrt{9}\)
27. (H3) Góc giữa đường vuông góc đáy hình chóp và đáy là A. \(90^\circ\) B. \(60^\circ\) C. \(45^\circ\) D. \(30^\circ\)
28. (H4) Hình lập phương cạnh a. Góc giữa đường chéo khối và mặt đáy = A. \(\arccos(1/\sqrt3)\) B. \(\arccos(\sqrt3/3)\) C. \(45^\circ\) D. \(60^\circ\)
29. (H5) Khoảng cách hai đường chéo không gian lập phương = A. \(\dfrac{a}{\sqrt2}\) B. \(a\) C. \(\dfrac{a\sqrt3}{2}\) D. \(\dfrac{a\sqrt2}{2}\)
30. (H6) Trong hình chóp đều \(S.ABCD\) (đáy vuông a, \(SA=a\)). \(\cos\theta\) (góc \(SC\) và đáy) bằng A. \(1/\sqrt5\) B. \(1/\sqrt3\) C. \(1/2\) D. \(2/\sqrt5\)

B. Phần tự luận (15 đ)

Câu I (2 đ) – Phương trình lượng giác

Giải trên \([0;2\pi]\): \[ 2\sin\!\Bigl(x-\frac{\pi}{6}\Bigr)+\sqrt3\cos\!\Bigl(x+\frac{\pi}{6}\Bigr)=1. \]

Câu II (2 đ) – Giới hạn vô định

Chứng minh \[ \lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{2}{3}. \]

Câu III (2 đ) – Cấp số cộng

Cho CSC \(\{u_n\}\) có \(u_1=1\), \(u_5=17\). a) Tìm \(d\). b) Tính \(S_{10}\).

Câu IV (2 đ) – Hình học không gian

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB=a\), \(AD=b\), \(AA'=c\). Tính khoảng cách giữa các đường chéo \(AC\) và \(B'D'\).

Câu V (Vận dụng cao – 2 đ)

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh \(a\), độ dài cạnh bên \(SA=a\sqrt2\).

1. Tính góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\).
2. Tính khoảng cách giữa đường \(BD\) và cạnh \(SC\).

Đáp án nhanh trắc nghiệm (30 câu)

1B 2A 3B 4A 5B 6B 7B 8A 9A 10A  11A 12A 13B 14A 15B  16A 17A 18A 19A 20C  21A 22B 23A 24A 25B 30 (26A 27A 28B 29A 30A)

10. Ma trận câu hỏi THPT (Góc & Khoảng cách)

\[ \text{Weight}_{\text{Hình KG}}^{\text{THPT}} ≈ 12\,\% \] trong đó góc 5 %, khoảng cách 7 %. Học sinh muốn 9 + phải nhắm trọn 5/7 câu Vận dụng cao ⇒ luyện nhiều bài “đường chéo–đường cao”.

11. Lộ trình ôn 4 tuần (chuyên góc & d)

Chúc bạn vẽ hình nhanh – giải góc & khoảng cách chuẩn xác! Tham khảo soạn toán đa dạng tại MonToan.com.vn