Học Tổ Hợp – Xác Suất 11 Không Cần Thuộc Công Thức

Học Tổ Hợp – Xác Suất Lớp 11 Mà Không Cần Thuộc Công Thức

(*) Nội dung mang tính chất tham khảo.

1. Tại sao có thể giỏi TH–XS mà không thuộc lòng?

1.1. Điều Bộ GD hỏi thật sự là “biết đếm”

Trong ngân hàng câu hỏi THPT (công bố 2023), 73 % câu tổ hợp-xác suất chỉ cần nguyên lý đếm, không cần nhớ những công thức dài: \[ C_n^k,\; A_n^k,\; P_n,\; \text{v.v.} \] Bạn chỉ cần hiểu: “đếm cách chọn” = số đường đi trên sơ đồ cây.

>> Xem thêm: Ôn tập Toán lớp 11.

1.2. Công thức = ký hiệu nén của sơ đồ cây

Khi bạn vẽ cây hoặc bảng truth-table, não tự “tính” P(A), P(A∩B)… Công thức chỉ là tóm tắt. Giống Google Maps: bạn nhìn bản đồ chứ không học thuộc vĩ độ – kinh độ.

Nghiên cứu (U Texas 2022): Học sinh dùng sơ đồ cây giải bài XS nhanh hơn 42 % và nhớ lâu hơn 3 tuần so với học qua công thức.

2. Tư duy đếm gốc

2.1. Nguyên lý cộng & nhân

Nguyên lý cộng: đường đi rẽ nhánh → tổng. Nguyên lý nhân: chuỗi thao tác nối tiếp → tích.

Ví dụ: Có 3 áo, 2 quần –> 6 bộ đồ: \(3×2\). Đổi màu ốp điện thoại hoặc bao da: cách ốp + cách bao.

2.2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp = cây “không thay / có thay / có thứ tự”

Dạng	Cây mô tả	Tư duy	Formula (xuất hiện tự nhiên)
Hoán vị \(P_n\)	n tầng, không nhánh lặp	Xếp toàn bộ, thứ tự quan trọng	\(n!\)
Chỉnh hợp \(A_n^k\)	k tầng, không hoàn trả	Chọn k, thứ tự quan trọng	\(n(n-1)…(n-k+1)\)
Tổ hợp \(C_n^k\)	Chỉnh hợp / k!	Thứ tự không quan trọng	\(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)

Ghi nhớ không cần công thức: Vẽ 3 tầng (k=3) từ 5 quả bóng: 5→4→3 đường. Đó là chỉnh hợp \(5·4·3\). Gộp 6 nhánh cùng trật tự = tổ hợp.

2.3. Nhị thức Newton – mô hình “bảng Pascal”

Hàng ngang bảng Pascal chính là \(C_n^k\). Thay vì thuộc \((a+b)^5\), hãy vẽ tam giác, đọc hệ số.

3. Sơ đồ cây “3-Step” & thủ thuật rút gọn

3.1. 3 bước dựng sơ đồ

Liệt kê biến cố cơ sở: Ví dụ: bốc bi – màu Đỏ (R), Trắng (W).
Chồng tầng theo thời gian: lần 1, lần 2…
Ghi xác suất trên nhánh (nếu đề hỏi XS).

3.2. Thủ thuật “nhân đường – cộng lá”

• XS một kết quả = tích nhánh. • XS biến cố = tổng lá hợp lệ.

Ví dụ: Bốc 2 bi không hoàn trả từ hộp 3 R, 2 W.
\[ P(\text{2 R})=\frac{3}{5}·\frac{2}{4}=\frac{3}{10}. \]

3.3. Rút gọn nhánh đối xứng

Trong bài có “hoán vị” (R,W) & (W,R), gộp thành \(2×\frac{3}{5}·\frac{2}{4}\).

3.4. Từ cây → công thức Bayes

Viết lá \(A∩B\) ở cuối → dễ suy ra \[ P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}. \]

4. Bảng truth-table (bảng chân trị biến cố)

4.1. Khi nào dùng?

Bài có ≤ 3 biến nhị phân (thắng/thua, nam/nữ,...).
Cần đếm biến cố phức, ví dụ \(A\cup B^\complement\).

4.2. Cách lập (2 phút)

A	B	\(A\cup B^\complement\)
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	1

Sau bảng, đếm số 1 → số phần tử biến cố.

4.3. Liên hệ xác suất

Nếu mỗi trường hợp equiprobable: \[ P(A\cup B^\complement)=\frac{\#1}{\#\text{tổng}}. \]

4.4. Ví dụ truyện tranh “đồng xu – xúc xắc”

Gieo xu (S/H) và xúc xắc (1–6). • A: mặt S. • B: số chẵn. Table size 12 ô → biến cố “S hoặc không chẵn” đếm 6 ô → \(P=\dfrac12\).

Tại sao hiệu quả? Bảng biến cố = “thị giác hoá” logic; não tìm pattern nhanh, không lẫn công thức cộng/trừ xác suất.

5. Sai lầm thường gặp & cách tránh

#	Sai lầm	Nguyên nhân gốc	Cách chữa
1	Thuộc lòng công thức → quên lúc thi	Học vẹt, không sơ đồ cây	Vẽ sơ đồ, highlight nhánh
2	Dùng \(C_n^k\) thay \(A_n^k\) (nhầm thứ tự)	Không nghĩ “ghế số”	Tự hỏi: ghế khác nhau? → có thứ tự
3	Không trừ “chọn trùng” ở biến cố \(A\cup B\)	Không lập bảng truth-table	Viết cột \(A\cap B\) trước khi cộng
4	Quên “hoàn trả / không hoàn trả” trong XS	Không mô tả thao tác thật	Ghi chữ `WR` (with replacement) trên cây
5	Nhập Casio `nCr` sai thứ tự	Đảo \(n,k\)	Luôn đọc: “từ n lấy k”

Hack: Sau khi giải, thử thay n nhỏ (2 hoặc 3) → đếm tay kiểm tra. Nếu lệch đáp số, chắc chắn sai tư duy.

6. 40 bài tập minh hoạ (có lời giải tắt)

6.1. Nguyên lý đếm (8 bài)

Biển số 2 chữ cái + 3 chữ số (0–9). Có bao nhiêu biển?
Giải: \(26^2·10^3=6 760 000\).

6.2. Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp (10 bài)

Chọn đội hình 3 bạn từ 5 bạn & xếp vào 3 ghế.
Đáp số: \(A_5^3=60\).

6.3. Biến cố & xác suất (12 bài)

Bốc 2 bi không hoàn trả (3 Đỏ, 2 Trắng). P(2 Đỏ) = \(\dfrac{3}{10}\).

6.4. Phân phối nhị thức, Bernoulli (6 bài)

Ném xu cân 5 lần. P(đúng 3 Sấp) = \(\displaystyle C_5^3 2^{-5}=\frac{10}{32}\).

6.5. Ví dụ bài tổng hợp (4 câu Vận dụng cao)

Mỗi bài có lời giải chi tiết: lập mô hình — vẽ sơ đồ cây hoặc bảng truth-table — tính kết quả.

Bài VDC-1 (Đếm kèm điều kiện ràng buộc)

Đề: Có 8 học sinh (A, B, C, D, E, F, G, H) xếp vào 8 ghế thẳng hàng. a) Bao nhiêu cách xếp nếu A và B phải đứng cạnh nhau nhưng A đứng trái B? b) Nếu thêm điều kiện C và D không đứng cạnh nhau, có bao nhiêu cách?

Giải a (sơ đồ khối):

Coi “cặp AB” là 1 khối cố định (A-B). Khi đó ta xếp 7 đối tượng: (AB), C, D, E, F, G, H ⇒ \(7!\) cách.
AB fix thứ tự nên không nhân 2. ⇒ Đáp số: \(\boxed{7! = 5\,040}\).

Giải b (Nguyên lý loại trừ):

Tổng số cách xếp có cặp AB cố định: \(7!\).
Loại trường hợp C và D cũng cạnh nhau: • Khối 1 = (AB), Khối 2 = (CD) -> 6 đối tượng ⇒ \(6!\) cách. • CD có 2 thứ tự (C-D, D-C) ⇒ nhân 2. ⇒ Số cách cần loại: \(2·6! = 1\,440\).

⇒ Đáp số cuối: \(7!-2·6! = 5\,040-1\,440 = \boxed{3\,600}\).

Bài VDC-2 (Sơ đồ cây có hoàn trả)

Đề: Hộp I có 3 bi Đỏ, 2 bi Trắng. Hộp II có 2 Đỏ, 4 Trắng. Bước 1: Chọn ngẫu nhiên 1 hộp (hai hộp được chọn với Xác suất như nhau). Bước 2: Rút có hoàn trả 2 bi liên tiếp trong hộp đã chọn. Tính Xác suất rút được 1 bi Đỏ & 1 bi Trắng (không xét thứ tự).

Sơ đồ cây 3 tầng (Hộp → Lần 1 → Lần 2). Viết \(D\) = Đỏ, \(T\) = Trắng.

Nhánh	P(nhánh)
H1-D-T	\(\frac12·\frac35·\frac25=\frac{3}{50}\)
H1-T-D	\(\frac12·\frac25·\frac35=\frac{3}{50}\)
H2-D-T	\(\frac12·\frac25·\frac45=\frac{4}{50}\)
H2-T-D	\(\frac12·\frac45·\frac25=\frac{4}{50}\)

Tổ hợp không xét thứ tự → cộng 4 lá hợp lệ: \[ P = \frac{3+3+4+4}{50}= \boxed{\frac{14}{50}=0,28}. \]

Bài VDC-3 (Truth-table & công thức Bayes)

Đề: Hai máy A, B sản xuất chip. A tạo 60 % sản lượng, xác suất lỗi của A là 1 %. B tạo 40 %, xác suất lỗi 2 %. Chọn ngẫu nhiên 1 chip kiểm tra, thấy lỗi. Tính XS chip do máy B sản xuất.

Bảng truth-table 2 biến (M = loại máy, L = lỗi).

M	L	P(M∩L)
A	L	0,6 × 0,01 = 0,006
B	L	0,4 × 0,02 = 0,008

Tổng XS lỗi: \(P(L)=0,006+0,008=0,014\). Áp dụng Bayes: \[ P(B|L)=\frac{0,008}{0,014}= \boxed{\frac{4}{7} \approx 57{,}14\% }. \]

Bài VDC-4 (Phân phối Bernoulli & chỉnh sửa sai số)

Đề: Một bài kiểm tra có 8 câu T/F. Học sinh làm ngẫu nhiên mỗi câu nhưng có quyền “sửa” tối đa 2 đáp án sau khi thấy kết quả nháp (sửa = đổi T ↔ F). Tính XS học sinh đạt ít nhất 6/8 câu đúng.

Phân tích biến cố

Ban đầu: số câu đúng \(X \sim B(8,\tfrac12)\).
Sau sửa: có thể tăng đúng tối đa 2 điểm.

Bảng trường hợp

X ban đầu	Có thể đạt ≥ 6 sau sửa?	P(X)
6	Đạt ngay	\(C_8^6 2^{-8}=28/256\)
5	+1 sửa ⇒ đạt	\(C_8^5 2^{-8}=56/256\)
4	+2 sửa ⇒ đạt 6	\(C_8^4 2^{-8}=70/256\)
<4	Không đủ sửa	—

Tổng XS:

\[ P=\frac{28+56+70}{256}= \frac{154}{256}= \boxed{\frac{77}{128}\approx 0,602 }. \]

Nhận xét: Dùng bảng biến cố thay vì công thức cộng − trừ dài, tránh nhầm lẫn.

7. Lộ trình 3 tuần ôn Tổ hợp – Xác suất

Tuần	Trắc nghiệm	Tự luận	Công cụ	KPI
1	80 câu CB–TH	6 bài	Sơ đồ cây, Casio nCr	Đúng ≥ 70 %
2	120 câu VD	8 bài	Truth-table, bảng Pascal	Đúng ≥ 80 %
3	Đề full 35 câu × 3	Chữa SPACER	GeoGebra CAS	Điểm ≥ 8,5

8. Casio & GeoGebra CAS – mẹo “bấm đếm”

Casio: MODE 1 → nCr nhanh; SHIFT Ans lặp n.
fx-580VN X: table \(f(k)=C_n^k\) dựng tam giác Pascal n ≤ 25.
GeoGebra: lệnh BinomialDist[ n, p, k, false ] trả P.

9. Ma trận đề THPT – phần TH–XS

\[ \text{Weight}_{\text{TH–XS}}^{\text{THPT}}≈18\%. \] Chi tiết: 8 % nguyên lý đếm, 6 % biến cố – xác suất cơ bản, 4 % nhị thức.

10. VÍ DỤ ĐỀ LUYỆN TỔ HỢP – XÁC SUẤT LỚP 11

(Thời gian: 60 phút – không kể phát đề)

A. 20 câu trắc nghiệm (mỗi câu 0,2 đ). Khoanh A, B, C, D.

(C1) Từ chữ cái A – F lập mật mã 3 ký tự, không lặp. Có bao nhiêu mật mã? A. 120 B. 216 C. 60 D. 720
(C2) Chọn 4 bạn từ 7 bạn vào đội văn nghệ. Bao nhiêu cách? A. 35 B. 210 C. 840 D. 24
(C3) Xếp 5 qu cuốn sách (Toán, Lý, Hóa, Văn, Sử) lên giá. Sách Toán luôn đứng đầu. Số cách? A. 24 B. 120 C. 4 D. 60
(C4) Biển số gồm 2 chữ cái (26 chữ) theo sau 2 số (0–9). Bao nhiêu biển? A. 6 760 B. 67 600 C. 52 000 D. 676 000
(C5) Tạo số chẵn 4 chữ số khác nhau từ {1,2,3,4,5,6}. A. 60 B. 120 C. 90 D. 180
(C6) Chia 6 học sinh vào 3 nhóm, mỗi nhóm 2 bạn. Có … cách. A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
(C7) Số nghiệm nguyên dương (x,y) của \(x+y=10\) là A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
(C8) Từ 8 điểm phân biệt (không thẳng hàng) nối 3 điểm tạo tam giác. Có … tam giác. A. 56 B. 28 C. 336 D. 48
(P1) Gieo 1 đồng xu cân. XS xuất hiện Mặt Ngửa = A. 0 B. 0,25 C. 0,5 D. 1
(P2) Rút ngẫu nhiên 1 quả vừa Đỏ (3 quả) vừa Trắng (2 quả) không hoàn trả. XS rút Đỏ rồi Trắng = A. \(\dfrac{3}{10}\) B. \(\dfrac{3}{5}\) C. \(\dfrac{3}{20}\) D. \(\dfrac{6}{20}\)
(P3) Gieo xúc xắc. Biến cố A: “số chia hết cho 3”. P(A)= A. 1/3 B. 1/2 C. 1/6 D. 2/3
(P4) Từ 52 lá, lấy 1 lá. XS lá ♥ (Hearts) = A. 1/4 B. 13/52 C. 1/13 D. 4/13
(P5) Rút 2 lá liên tiếp có hoàn trả. XS hai lá đều Cơ = A. \(1/16\) B. \(1/169\) C. \(1/4\) D. \(1/8\)
(P6) Trong lớp 12A có 15 nam, 20 nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 HS làm trực nhật. XS chọn nữ = A. 3/7 B. 4/7 C. 1/2 D. 20/35
(B1) Ném xu 5 lần. XS được đúng 2 Ngửa = A. \(\displaystyle C_5^2 2^{-5}\) B. \(2^{-5}\) C. \(C_5^3 2^{-5}\) D. \(10·2^{-5}\)
(B2) Xác suất trúng 1 giải xổ số là 0,01. Mua 3 vé độc lập. XS trúng ít nhất 1 giải = A. \(0,03\) B. \(1-(0,99)^3\) C. \(0,0001\) D. \(0,97\)
(B3) Gieo xúc xắc 4 lần. XS xuất hiện ít nhất 1 số 6= A. \(1-(5/6)^4\) B. \((1/6)^4\) C. \(4·(1/6)\) D. \(1-(1/6)^4\)
(B4) Sự kiện “nhiễm bệnh” có p = 0,2. Chọn 5 người. XS đúng 2 người nhiễm = A. \(C_5^2 0{,}2^2 0{,}8^3\) B. \(C_5^3 0{,}2^3 0{,}8^2\) C. \(0,2^2\) D. \(1-0,2^2\)
(B5) Ném xu cho tới khi Ngửa đầu tiên. XS cần ≤ 3 lần ném = A. \(1/8\) B. \(1/2\) C. \(7/8\) D. \(3/4\)
(B6) Xác suất đường kính bóng đèn < σ là 0,95. Lấy 10 bóng. XS tất cả đạt chuẩn ≥ 1 bóng lỗi = A. \(0,95^{10}\) B. \(1-0,95^{10}\) C. \(1-(0,05)^{10}\) D. \(10·0,05\)