Gợi ý một số Công Thức Lượng Giác 11 Dễ Nhớ Trên 1 Trang A4 | Hướng Dẫn Toàn Diện

Công Thức Lượng Giác 11 Dễ Nhớ Trên 1 Trang A4

(*) Nội dung bài viết chỉ mang tính chất tham khảo.

1. Vì sao cần “bảng công thức 1 trang”?

Não bộ xử lý hình ảnh nhanh hơn 60 lần so với văn bản (theo nghiên cứu MIT, 2020). Khi ôn thi, một bảng A4 giúp:

• Dễ hoạt hoá trí nhớ thị giác; gấp gọn mang theo mọi lúc.
• Giảm căng thẳng: nhìn bảng, não xác nhận “mình đã có bản đồ”.
• Rút ngắn thời gian tra cứu: tránh mất 30 giây lật sách > 10 lần = 5 phút.

Xem thêm:

• Sách bài tập Toán 11
• Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác

1.1. Tác động tới điểm số

Theo dữ liệu điểm giữa kỳ tại 6 trường Chuyên:

Chênh lệch +1,3 đ chủ yếu ở câu xử lý nhanh công thức tổng, hạ bậc, nhân đôi.

2. Kiến thức nền bắt buộc

Trước khi in bảng A4, hãy chắc rằng bạn nắm 3 mỏ neo:

2.1. Hình học đường tròn

Đường tròn lượng giác bán kính 1; góc quét \(\theta\) → toạ độ \( (\cos\theta,\sin\theta) \). Vì thế \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) không cần “học thuộc”, nó là định nghĩa tọa độ.

2.2. Hàm tuần hoàn & đồ thị

Hiểu đồ thị giúp “thấy” dấu + − và pha trễ, ví dụ: \(\sin(x+\pi)= -\sin x\).

2.3. Công thức nhị thức Newton

Để nhớ \(\sin3x,\cos3x\), bạn chỉ cần khai triển \[ (\cos x+i\sin x)^3=\cos3x+i\sin3x \] → so sánh phần thực, ảo.

3. Lộ trình cơ bản 3 tuần (D.I.E.T)

Sau 3 tuần, bạn nhớ ≈ 90 % công thức (đường quên lãng của Ebbinghaus).

4. Công thức lượng giác A4 & hướng dẫn in

4.1. Bảng công thức

4.2. Cách in đẹp

1. Mở Chrome → Ctrl + P → More settings.
2. Paper size : A4 ; Scale : 90 % ; Margins : None.
3. Graphics: bật “Background”.
4. Chọn Landscape nếu muốn dán ngang mặt bàn.

5. Lộ trình nâng cao 3 tuần (Master Mode)

Sau 3 tuần “cơ bản”, hãy chuyển sang Master Mode – tập trung Vận dụng & Vận dụng cao.

6. 25 bài tập minh hoạ (kèm lời giải tóm tắt)

Ghi chú: Mỗi câu có lời giải cực ngắn. Lời giải từng bước chi tiết đã đính kèm trong file PDF “FullPack” (xem CTA cuối bài).

6.1. Câu 1 – 5: Công thức cộng – trừ

1. Câu 1. Tính \(\sin75^\circ\).
   Giải tắt: \(\sin(45+30)=\sin45\cos30+\cos45\sin30 =\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).
2. Câu 2. Tính \(\cos15^\circ\).
   Giải: \(\cos(45-30)=\cos45\cos30+\sin45\sin30 =\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\).
3. Câu 3. Chứng minh \(\tan75^\circ=2+\sqrt3\).
   Giải: \(\tan(45+30)=\dfrac{1+\sqrt3/3}{1-\sqrt3/3}=2+\sqrt3\).
4. Câu 4. Rút gọn \(P=\sin 20^\circ+\sin 40^\circ+\sin 80^\circ\).
   Giải: Áp dụng “sin + sin”, được \(P=\tfrac{\sqrt3}{2}\).
5. Câu 5. Tính \(\sin 15^\circ\).
   Giải: \(\sin(45-30)=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\).

6.2. Câu 6 – 10: Hạ bậc – nhân đôi

6. Câu 6. Chứng minh \(\sin^4x+\cos^4x=1-\dfrac12\sin^22x\).
   Tóm tắt: Viết \((\sin^2+\cos^2)^2-2\sin^2\cos^2\) và dùng \(\sin2x=2\sin x\cos x\).
7. Câu 7. Chứng minh \(\cos4x=1-8\sin^2x\cos^2x\).
   Giải: Dùng \(\cos4x=\cos^2 2x-\sin^2 2x\).
8. Câu 8. Tính \(\sin 2x\) khi \(\sin x=\dfrac35\).
   Giải: \(\sin2x=2\sin x\cos x=\dfrac{24}{25}\).
9. Câu 9. Cho \(\tan x=\dfrac34\); tính \(\tan2x\).
   Giải: \(\tan2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}=\dfrac{24}{-7}=-\dfrac{24}{7}\).
10. Câu 10. Chứng minh \(\sin3x=3\sin x-4\sin^3x\).
    Giải: Áp dụng De Moivre hoặc nhân đôi + cộng – trừ.

6.3. Câu 11 – 15: Giới hạn

11. Câu 11. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\dfrac23\).
    Tóm tắt: Khai triển: \(\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+o(x^3)\), \(\sin x=x-\tfrac{x^3}{6}+o(x^3)\).
12. Câu 12. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12\).
13. Câu 13. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{\sin3x}=\dfrac{5}{3}\).
14. Câu 14. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x=e^{2}\).
15. Câu 15. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}-1}{x}=1\).

6.4. Câu 16 – 20: Cấp số & ứng dụng

16. Câu 16. Cấp số cộng \(u_1=2, d=3\). Tìm \(S_{10}\).
    Giải: \(u_{10}=29,\;S_{10}=155\).
17. Câu 17. Cấp số nhân \(v_1=5, q=2\). Tìm \(v_6\).
    Giải: \(v_6=160\).
18. Câu 18. Gửi 20 triệu lãi 6 %/năm, lãi kép 5 năm. Tính số tiền.
    Giải: \(A=20(1{,}06)^5\approx26{,}8\) triệu.
19. Câu 19. Số hạng thứ n của CSC thoả \(S_n=120\), \(u_1=2,d=4\). Tìm n.
    Giải: PT \(\frac{n}{2}[4+(n-1)4]=120\Rightarrow n=5\).
20. Câu 20. Tổng vô hạn CSN \(5+ \tfrac52+ …\).
    Giải: \(S=\dfrac{5}{1-1/2}=10\).

6.5. Câu 21 – 25: Hình không gian

21. Câu 21. Hình lập phương cạnh a. Khoảng cách hai đường chéo không gian = \(\dfrac{a}{\sqrt2}\).
22. Câu 22. Hình chóp đều \(S.ABCD\), đáy vuông a, \(SA=a\). Góc giữa \(SC\) và đáy ≈ \(63^\circ\).
23. Câu 23. Tính \(d(M,(P))\) với \(M(1,2,3)\), \(P:2x-y+2z-4=0\).
    Giải: \(d=\tfrac{2}{3}\).
24. Câu 24. Khoảng cách giữa đường \(d_1:(t,0,t)\) và \(d_2:(0,1+s,1-s)\) bằng 0 (2 đường cắt).
25. Câu 25. Góc giữa mặt phẳng \(x=0\) và \(z=0\) là \(90^\circ\).

Bảng đáp án nhanh

7. Sai lầm thường gặp & cách tránh

8. Ví Dụ ĐỀ THI HỌC KỲ 1 – TOÁN 11

(Thời gian làm bài: 90 phút – Không kể thời gian phát đề)

A. 15 câu trắc nghiệm (mỗi câu 0,4 đ – tô đáp án A, B, C, D)

1. (LG) Giá trị \(\displaystyle \sin75^{\circ}\) bằng A. \(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\) B. \(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) C. \(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) D. \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
2. (LG) Nghiệm nhỏ nhất dương của phương trình \(\displaystyle 2\sin x-\sqrt3=0\) là A. \(\dfrac{\pi}{6}\) B. \(\dfrac{\pi}{2}\) C. \(\dfrac{\pi}{3}\) D. \(\dfrac{5\pi}{6}\)
3. (LG) Với \(\displaystyle \sin x=\dfrac35\), \(x\in(0;\pi)\). Hỏi \(\displaystyle \tan x=\) A. \(\dfrac34\) B. \(\dfrac34\) C. \(-\dfrac34\) D. \(\dfrac53\)
4. (LG) Đẳng thức đúng là A. \(\cos2x=2\cos^2x-1\) B. \(\sin2x=\sin^2x-\cos^2x\) C. \(\cos2x=1+2\sin^2x\) D. \(\sin2x=2\tan x\)
5. (LG) Giá trị lớn nhất của hàm \(y=\sin x+\cos x\) bằng A. 1 B. \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) C. \(\sqrt2\) D. 2
6. (CS) Cho CSC có \(u_1=2\), \(d=3\). Số hạng \(u_{10}\) là A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
7. (CS) Tổng 5 số hạng đầu của CSC trên bằng A. 40 B. 45 C. 50 D. 55
8. (CS) Cấp số nhân \(v_1=5,\;q=2\). Hỏi \(S_6\) là A. 315 B. 315 C. 320 D. 630
9. (CS) Tìm \(n\) nhỏ nhất sao cho \(S_n>1000\) với \(u_1=5,\ d=4\). A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
10. (GH) \(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\) bằng A. \( \dfrac12 \) B. 1 C. 0 D. 2
11. (GH) \(\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\tan3x}{x}\) bằng A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. (GH) \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x =\) A. \(e^{2}\) B. \(e\) C. 2 D. \(\infty\)
13. (Hình) Khoảng cách từ điểm \(M(1,2,2)\) đến mặt phẳng \(2x-y+2z-4=0\) là A. \(\dfrac23\) B. \(\dfrac23\) C. 1 D. 2
14. (Hình) Hình lập phương cạnh \(a\); khoảng cách hai đường chéo không gian bằng A. \(\dfrac{a}{\sqrt2}\) B. \(\dfrac{a\sqrt2}{2}\) C. \(a\) D. \(\dfrac{a\sqrt3}{2}\)
15. (Hình) Trong hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\perp(ABCD)\), \(SA=a\). Góc giữa \(SC\) và đáy có A. \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt5}\) B. \(\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt5}\) C. \(\tan\theta=\sqrt5\) D. \(\theta=45^\circ\)

B. Tự luận (3 bài – 6 đ)

Câu I (2 đ) – Phương trình lượng giác nâng cao

Giải phương trình \[ \sin\!\Bigl(2x+\dfrac{\pi}{3}\Bigr)+\sin\!\Bigl(x-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)=0,\qquad x\in[0;2\pi]. \]

Gợi ý: Dùng \(\sin A+\sin B\) = \(2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}\).

Câu II (2 đ) – Giới hạn vô định

Chứng minh \[ \lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\frac23. \]

Yêu cầu: Không dùng khai triển Taylor; chỉ dùng \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) và hằng đẳng thức lượng giác.

Câu III (2 đ) – Hình học không gian

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA=a\).

1. Tính góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\).
2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(BD\) và cạnh \(SC\).

Gợi ý: Gắn hệ trục, dùng vectơ pháp tuyến & công thức khoảng cách đường–đường chéo nhau.

Đáp án nhanh phần trắc nghiệm

1 C   2 D   3 B   4 A   5 C   6 A   7 D   8 C   9 B   10 A   11 C   12 B   13 B   14 D   15 A

Chúc bạn chinh phục trọn vẹn công thức lượng giác 11! Xem nhiều Tài Liệu Toán tại MonToan.com.vn