Phép Dời Hình Toán 11 Và Ứng Dụng Đời Sống: Kiến Trúc, Robot, AR/VR

Phép Dời Hình Toán 11 Có Ứng Dụng Gì Trong Đời Sống?

1. Khái quát phép dời hình lớp 11

1.1. Định nghĩa & phân loại

Phép dời hình (isometry) là hàm biến đổi \(f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) bảo toàn khoảng cách: \[ \forall A,B\in\mathbb R^2,\quad AB = A'B' \quad\bigl(A'=f(A),\;B'=f(B)\bigr). \] SGK 11 chia 4 loại cơ bản:

Tịnh tiến \(T_{\vec v}\)
Quay \(R_{O,\alpha}\)
Đối xứng trục (phản xạ) \(S_\ell\)
Đối xứng tâm (quay 180°) \(S_O\)

Tổ hợp phản xạ + tịnh tiến tạo glide reflection – quan trọng trong kiến trúc.

1.2. Tính chất bảo toàn

Khoảng cách
Trung điểm
Thẳng hàng
Song song – vuông góc

Nhiều ứng dụng kỹ thuật cần chính xác hình dạng ⇒ dời hình là “cưa dán” không biến dạng.

1.3. Dời hình & nhóm Euclid E(2)

Tập tất cả phép dời hình trong \(\mathbb R^2\) tạo thành nhóm Lie \(E(2)\) với phép hợp thành \(\circ\). Lập trình đồ họa và robot chọn ma trận đồng nhất 3×3 (homogeneous) để biểu diễn.

>> Tài liệu đề thi Học tốt Toán lớp 11.

2. Công thức & ký hiệu (MathJax)

2.1. Tịnh tiến

\[ T_{\vec v}:\; (x,y)\mapsto (x+a,\;y+b)\quad\text{với } \vec v=(a,b). \]

2.2. Phép quay góc \(\alpha\) quanh \(O\)

\[ R_{O,\alpha}:\begin{cases} x' = x\cos\alpha - y\sin\alpha,\\[4pt] y' = x\sin\alpha + y\cos\alpha. \end{cases} \] Ma trận đồng nhất 3×3: \[ \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

2.3. Đối xứng qua trục \(d\) (góc phương \(\theta\))

\[ S_d = R_{-\theta}\circ S_{Ox}\circ R_{\theta},\quad S_{Ox}(x,y)= (x,-y). \]

2.4. Glide reflection (trượt lật)

\(G = T_{\vec v}\circ S_\ell\). Bê tông đá lát vỉa hè dùng \(G\) để lặp pattern “ziczac”.

2.5. Công thức “bỏ túi” Casio fx-580VN X

Tính \((x,y)\) sau quay: MODE → MatriX → nhập cos, sin.
Kiểm tra đối xứng: nhập ma trận [[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,1]].

3. Ứng dụng thực tế: kiến trúc, robot, thiết kế

3.1. Kiến trúc & quy hoạch

• Mô‐đun mặt đứng: Nhân bản (tịnh tiến) ô cửa kính tạo facade tiết kiệm vật liệu. • Hoa văn gạch bông: Đối xứng + glide reflection → hoạ tiết Islam.

3.2. Robot công nghiệp

• Cánh tay 6 bậc tự do lập trình theo ma trận dời hình 4×4 (Denavit–Hartenberg). • AI pick-and-place: tính toán quỹ đạo tịnh tiến + quay tránh va chạm.

3.3. In 3D & CNC

Firmware slicer chuyển mô hình CAD → g-code bằng G0 X… Y… (tịnh tiến) + G2/G3 (quay cung tròn).

3.4. Thiết kế đồ hoạ & UX

CSS 3 transform dùng ma trận đồng nhất:

transform: matrix( cosθ, sinθ, –sinθ, cosθ, tx, ty );

Áp dụng hover-animation quay 45° + trượt 10 px.

3.5. Thực nghiệm AR (Augmented Reality)

Camera → OpenCV –> solvePnP → ma trận dời hình để gắn mô hình 3D lên bàn thật.

4. Demo GeoGebra & mã CSS transform

4.1. GeoGebra 3D dựng “quay + tịnh tiến”

Tạo điểm \(A(1,0,0)\).
Lệnh Rotate(A,60°,zAxis) → \(A_1\).
Lệnh Translate(A1,(2,1,0)) → \(A_2\).
Measure Distance(A,A2) → \(\sqrt7\).

4.2. Mã HTML + CSS minh hoạ

Dời hình

.box{
  width:120px;height:120px;
  background:#0d6efd;color:#fff;
  display:flex;align-items:center;justify-content:center;
  transition:transform .6s;
}
.box:hover{
  transform:translate(20px,-10px) rotate(20deg);
}

Di chuột sẽ thấy tịnh tiến + quay giống bài toán \(T_{\vec v}\circ R\).

Hoạt động lớp học: HS scan QR mở GeoGebra, thay đổi góc quay – tịnh tiến để “xếp gạch bông” thời gian thực.

5. Ứng dụng AR/VR & đồ họa 3D (gamedev, kiến tạo thế giới)

5.1. Ma trận biến đổi trong Unity, Unreal

Động cơ game dùng ma trận đồng nhất 4×4: \[ \mathbf{M}= \begin{bmatrix} R_{3×3} & \vec t \\ \mathbf 0^{\mathrm T} & 1 \end{bmatrix} \] Trong đó \(R\) gộp quay + tịnh tiến; transform.Translate(), transform.Rotate() chính là gọi \(T_{\vec v}\), \(R_{O,\alpha}\).

5.2. Hiệu ứng “teleport” AR

Điện thoại quét QR → tính ma trận pose camera. Ảo ảnh nhân bản mô hình = lặp \(T_{\vec v}\) theo grid.

5.3. Case-study: Pokémon GO

Tọa độ GPS → hệ tọa độ bản đồ 3D qua phép dời hình địa cầu (E, N, Alt).
Spin PokéStop = phép quay 360° của mô hình.

6. GPS, bản đồ & định vị: ma trận chuyển đổi

Thuật toán ECEF → ENU dùng 3 phép quay liên tiếp (Yaw, Pitch, Roll) + tịnh tiến gốc.

\[ \mathbf r_{\text{ENU}} = R_z(−\lambda)\,R_y(φ−90^{\circ})\,(\mathbf r_{\text{ECEF}}- \mathbf r_0) \]

Ứng dụng: Dẫn đường drone – mỗi waypoint lưu \(T_{\vec v_i}\) để bù sai số quán tính.

7. Kiểm soát chất lượng công trình (laser scan)

7.1. Point Cloud Alignment

ICP (Iterative Closest Point) tìm ma trận \(R,\vec t\) tốt nhất khớp đám mây điểm quét thực tế với BIM → kiểm tra cong vênh.

7.2. Robot gạch tự hành

Sử dụng cảm biến Lidar → tính \(T\) từng viên gạch so với thiết kế; robot điều chỉnh cánh tay tịnh tiến 5 mm.

8. Glide Reflection trong game dev & animation

Hiệu ứng “mirrored walk cycle”: Nhân bản animation đi bộ → lật trục Y rồi tịnh tiến nửa chu kỳ ⇒ tiết kiệm 50 % keyframe.

Trong CSS:

.enemy.flip{ transform: scaleX(-1) translateX(-100%); }

9. Danh sách 25 bài tập (lời giải tóm tắt)

#	Dạng	Đề ngắn gọn	Đáp số / Lời giải tắt
1	Tịnh tiến	\(T_{\vec v}(3,-2)\) biến \(A(1,4)\)	\(A'(4,\,2)\)
2	Quay \(90^\circ\)	Quay 90° quanh \(O\): \(B(2,0)\)	\(B'(0,\,2)\)
3	Quay \(180^\circ\)	Quay 180° \(O\): \(C(-3,5)\)	\(C'(3,\,-5)\)
4	Quay \(60^\circ\)	Quay 60° \(O\): \(D(2,2\sqrt3)\)	\(D'(-2,\,2\sqrt3)\)
5	Tịnh tiến	\(\vec v=(-4,1)\) với \(E(-1,0)\)	\(E'(-5,\,1)\)
6	Đối xứng trục \(Ox\)	Ảnh \(F(3,-7)\)	\(F'(3,\,7)\)
7	Đối xứng trục \(x=-1\)	\(G(4,5)\)	\(G'(-6,\,5)\)
8	Đối xứng tâm \(O\)	\(H(-2,3)\)	\(H'(2,\,-3)\)
9	Liên hợp (T + R)	\(T_{(1,2)}\circ R_{O,90^\circ}\) trên \(J(0,1)\)	\(J'=( -1+1,\;0+2)=(0,2)\)
10	Liên hợp (R + T)	\(R_{O,90^\circ}\circ T_{(1,2)}\) trên \(J\)	\(J''=( -2,\;1)\)
11	Định điểm bất biến	Tìm điểm cố định của \(T_{(3,0)}\)	Không tồn tại (trừ \(\infty\))
12	Định điểm bất biến	Tìm điểm cố định của \(R_{A,120^\circ}\)	Chính là điểm \(A\)
13	Khoảng cách bảo toàn	Chứng minh \(MN=M'N'\)	Bảo toàn ≈1 dòng
14	Ảnh đoạn thẳng	Tịnh tiến \(\vec v=(a,b)\) biến đoạn AB dài d	Độ dài vẫn =d
15	Quay & diện tích	Quay tam giác diện tích S	Diện tích giữ nguyên
16	Quay 45° điểm P	\(P(1,1)\)	\(\bigl(0,\sqrt2\bigr)\)
17	Đối xứng qua \(y=x\)	\(Q(-4,7)\)	\(Q'(7,\,-4)\)
18	Vecto ảnh	\( \overrightarrow{PQ}\) sau \(T_{(2,-3)}\)	Không đổi \(\overrightarrow{PQ}\)
19	Kết hợp	Tổng quát: 2 tịnh tiến = ?	Một tịnh tiến \(\vec v_1+\vec v_2\)
20	Liên hợp quay	Hai quay \(90^\circ\) →?	Quay 180°
21	Matrix	Ma trận quay \(30^\circ\)	\(\begin{bmatrix}\cos30&-\sin30\\\sin30&\cos30\end{bmatrix}\)
22	Matrix	Ma trận tịnh tiến (3,-1) dạng 3×3	\(\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}\)
23	Trục bất biến	Xác định trục \(S_\ell\) biết \(A(2,3)\to(2,-3)\)	Trục \(Ox\)
24	Chứng minh song song	Ảnh đường thẳng qua tịnh tiến	Đường mới // đường cũ
25	Glide reflection	Đối xứng qua trục \(x=0\) rồi tịnh tiến \(\vec v=(2,0)\). Viết ma trận đồng nhất 3×3.	\(\displaystyle G= \begin{bmatrix} -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&2\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1&0&2\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}\)

10. Lộ trình 3 tuần ôn chuyên đề

Tuần	Thực hành GeoGebra	Bài tập	KPI
1	12 mô hình tịnh tiến/quay	60 câu cơ bản	Đúng ≥ 70 %
2	Script CSS transform	80 câu VD	Đúng ≥ 80 %
3	AR marker – đặt cube	Đề full 35 câu ×2	Điểm ≥ 8,5

11. VÍ DỤ ĐỀ LUYỆN TẬP PHÉP DỜI HÌNH – PĐH-35

A. 30 câu trắc nghiệm (mỗi câu 0,2 đ). Khoanh A – B – C – D.

(T1) Ảnh của \(A(2,3)\) qua \(T_{\vec v}(–1,4)\) là A. (1,7) B. (–1,4) C. (1, –1) D. (–3,7)
(T2) Tịnh tiến không bảo toàn yếu tố nào? A. Khoảng cách B. Góc C. Diện tích D. Gốc toạ độ
(T3) Hai tịnh tiến \(\vec v_1=(2,1),\ \vec v_2=(–3,4)\) hợp thành A. \(\vec v=(–1,5)\) B. \(\vec v=(5,5)\) C. \(\vec v=(1,3)\) D. Không xác định
(T4) Điểm cố định của \(T_{(a,b)}\ (a,b\neq0)\) là A. Vô số B. Duy nhất 1 C. Không có D. Giao tuyến đường thẳng
(T5) Quay 90° quanh O biến \(B(4,–1)\) thành A. (–1,–4) B. (1,4) C. (–4,1) D. (1,–4)
(T6) Ma trận quay 180° là A. \(\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}\) B. \(I\) C. \(\begin{bmatrix}0&1\\–1&0\end{bmatrix}\) D. \(\begin{bmatrix}0&–1\\1&0\end{bmatrix}\)
(T7) Quay 60° hai lần liên tiếp tương đương A. Quay 120° B. Quay 180° C. Tịnh tiến D. Đối xứng tâm
(T8) Ảnh đường thẳng \(y=2x+1\) qua quay 90° O là A. \(x=–2y+1\) B. \(x=–\dfrac12y–1\) C. \(x=–\dfrac12y+1\) D. \(x=–\dfrac12y+½\)
(T9) Quay 30° điểm P giữ nguyên hoành độ khi A. \(P\) nằm trên trục \(Oy\) B. Trục Ox C. \(y=x\) D. Không tồn tại
(T10) Phép quay bảo toàn mọi yếu tố, trừ A. Độ dài B. Số đo góc C. Vị trí (tọa độ) D. Hình dạng
(T11) Vector quay \(p=(0,5)\) 90° thành A. (–5,0) B. (5,0) C. (0,–5) D. (–5,5)
(T12) Ảnh tam giác diện tích S qua quay bất kỳ là A. S B. 2S C. S/2 D. 0
(T13) Hợp thành quay α và quay β cùng tâm = A. Quay α+β B. Quay α–β C. Tịnh tiến D. Đối xứng trục
(T14) Gọi \(M(x,y)\). Sau \(T_{(3,–2)}\) & \(R_{O,90°}\), tọa độ ≈ A. (y–2, –x–3) B. (–y–2, x–3) C. (y+2, –x+3) D. (–y+2, x+3)
(T15) Trục quay 0° là A. Trục Ox B. Bất kỳ C. Không xác định D. Vô hạn
(T16) Ảnh hình vuông qua tịnh tiến là A. Hình vuông B. Hình chữ nhật C. Hình bình hành D. Không đều
(T17) Độ dài vector \(\vec v\) sau tịnh tiến A. Thay đổi B. Giảm C. Bằng D. Nhân 2
(T18) Phép quay duy nhất có trục bất biến = mọi điểm A. 360° B. 0° C. 180° D. 90°
(T19) Ảnh của đường tròn bán kính r sau quay A. Vẫn bán kính r B. r² C. r/2 D. tùy α
(T20) Hai phép tịnh tiến vuông góc ghép lại A. Tịnh tiến chéo B. Quay C. Đối xứng D. Không xác định
(R1) Đối xứng trục \(x=0\) biến \(K(–3,5)\) thành A. (3,5) B. (–3,–5) C. (3,–5) D. (–3,5)
(R2) Đối xứng tâm O biến vector \(\vec a\) thành A. –\(\vec a\) B. \(\vec a\) C. 2\(\vec a\) D. 0
(R3) Số trục đối xứng của hình vuông A. 2 B. 4 C. 1 D. 0
(R4) Glide = phản xạ + … A. Tịnh tiến // trục B. Tịnh tiến ⟂ trục C. Quay D. Đối tâm
(R5) Glide reflection không có điểm cố định vì A. Phản xạ đổi bên + trượt B. Không bảo toàn khoảng cách C. Sai D. Có điểm
(R6) Ma trận phản xạ qua \(y=x\) là A. \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\) B. \(\begin{bmatrix}1&0\\0&–1\end{bmatrix}\) C. \(\begin{bmatrix}–1&0\\0&1\end{bmatrix}\) D. I
(R7) Phép đối xứng bảo toàn hướng nào? A. Thuận chiều B. Ngược chiều C. Không bảo D. Tuỳ trục
(R8) Ảnh đường thẳng qua phản xạ là A. Đường thẳng B. Parabol C. Đường cong bất kỳ D. Đường tròn
(R9) Hai phản xạ qua trục song song cách d = A. Tịnh tiến 2d B. Tịnh tiến d C. Quay D. Glide
(R10) Hai phản xạ cắt nhau tại O cho góc θ = A. Quay 2θ B. Quay θ C. Tịnh tiến D. Đối tâm

B. Phần tự luận (3 bài cơ bản 3 đ + 2 bài VDC 1 đ)

Bài 1 (1 đ) – Tịnh tiến tam giác

Tam giác \(ABC\) có \(A(1,2),B(4,–1),C(0,3)\). Thực hiện \(T_{\vec v}(–2,5)\). Tìm toạ độ tam giác ảnh và chứng minh diện tích bảo toàn.

Bài 2 (1 đ) – Ma trận quay

Lập ma trận đồng nhất 3 × 3 của phép quay 45° quanh gốc O rồi biến điểm \(P(2,0)\). Kiểm tra độ dài \(OP\) giữ nguyên.

Bài 3 (1 đ) – Đối xứng trục & phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng \(d: y=–\dfrac12x+3\). Viết phương trình ảnh \(d'\) qua đối xứng trục \(x=1\).

Bài 4 (0,5 đ, VDC) – Hai phản xạ song song

Chứng minh hợp thành của hai phép đối xứng qua các trục song song cách d là tịnh tiến \(\vec v\) có độ dài \(2d\) và hướng vuông góc trục.

Bài 5 (0,5 đ, VDC) – Glide reflection tổng quát

Cho trục \(\ell:x=0\) và vector \(\vec v=(a,0)\). a) Viết ma trận đồng nhất 3 × 3 của glide \(G = T_{\vec v}\circ S_\ell\).
b) Chứng minh \(G\) không có điểm cố định.

Đáp án nhanh phần trắc nghiệm

1A 2D 3A 4C 5C 6A 7A 8B 9A 10C 11A 12A 13A 14A 15B 16A 17C 18B 19A 20A 21A 22A 23B 24A 25A 26A 27D 28A 29A 30A

Kết luận: Phép dời hình không chỉ là khái niệm hình học – nó sống trong mọi lĩnh vực: kiến trúc mô‐đun, cánh tay robot, AR/VR, game dev. Hiểu bản chất dời hình, bạn sẽ nối Toán 11 với công nghệ 4.0.

>> Trang tài liệu Toán Math.