phương pháp giải nhanh trắc nghiệm cực trị của hàm số

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số (Giải tích 12) bằng cách sử dụng phép thử và sự hỗ trợ của máy tính cầm tay Casio – Vinacal.

A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ

1. Khái niệm cực trị của hàm số
• Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập hợp \(D\) \((D \subset R)\) và \({x_0} \in D.\)
• a) \({x_0}\) gọi là một điểm cực đại của hàm số \(y = f(x)\) nếu tồn tại một khoảng \((a;b)\) chứa điểm \({x_0}\) sao cho \((a;b) \subset D\) và \(f(x) < f\left( {{x_0}} \right)\), \(\forall x \in (a;b)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}.\)
  
  Khi đó \(f\left( {{x_0}} \right)\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số \(f(x).\)
• b) \({x_0}\) gọi là một điểm cực tiểu của hàm số \(y = f(x)\) nếu tồn tại một khoảng \((a;b)\) chứa điểm \({x_0}\) sao cho \((a;b) \subset D\) và \(f(x) /> f\left( {{x_0}} \right)\), \(\forall x \in (a;b)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}.\)
  
  Khi đó \(f\left( {{x_0}} \right)\) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số \(f(x).\)
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
• Xét hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \((a;b)\) và \({x_0} \in (a;b).\)
• Định lí 1: Giả sử hàm số \(y = f(x)\) đạt cực trị tại điểm \({x_0}.\) Khi đó, nếu \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0.\)
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
• Định lí 2: Giả sử hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \((a;b)\) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right).\) Khi đó:
• a) Nếu \(f’\left( {{x_0}} \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f’\left( {{x_0}} \right) /> 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}.\)
• b) Nếu \(f’\left( {{x_0}} \right) /> 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f’\left( {{x_0}} \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại điểm \({x_0}.\)
• Nói một cách vắn tắt: Nếu khi \(x\) qua \({x_0}\), đạo hàm đổi dấu thì điểm \({x_0}\) là một điểm cực trị của hàm số.
• Từ định lí 2 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:
• Quy tắc 1: Để tìm cực trị của hàm số \(y = f(x)\) ta thực hiện theo các bước:
• + Bước 1: Tính \(f'(x).\)
• + Bước 2: Tìm các điểm \({x_i}\) \((i = 1;2 \ldots )\) tại đó đạo hàm của hàm số bằng \(0\) hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• + Bước 3: Xét dấu \(f'(x).\) Nếu \(f'(x)\) đổi dấu khi x qua điểm \({x_i}\) thì hàm số đạt cực trị tại \({x_i}.\)
• Định lí 3: Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp một trên khoảng \((a;b)\) chứa điểm \({x_0}\), \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f(x)\) có đạo hàm cấp hai khác \(0\) tại điểm \({x_0}.\)
• a) \(f”\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_0}.\)
• b. Nếu \(f”\left( {{x_0}} \right) /> 0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}.\)
• Từ định lí 3 ta có quy tắc tìm cực trị sau đây:
• Quy tắc 2: Để tìm cực trị của hàm số \(y = f(x)\) ta thực hiện theo các bước:
• + Bước 1: Tính \(f'(x).\)
• + Bước 2: Tìm các nghiệm \({x_i}\) \((i = 1;2 \ldots .)\) của phương trình \(f'(x) = 0.\)
• + Bước 3: Với mỗi \(i\) ta tính \(f”\left( {{x_i}} \right)\), khi đó:
• Nếu \(f”\left( {{x_i}} \right) < 0\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_i}.\)
• Nếu \(f”\left( {{x_i}} \right) /> 0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \({x_i}.\)

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài tập 1. Cho hàm số \(y = {x^3} + 6{x^2} + 9x – 3.\) Hàm số có:

A. Một cực đại và một cực tiểu.

B. Hai cực đại.

C. Hai cực tiểu.

D. Không có cực trị.

Chọn A.

Lời giải tự luận: Ta lần lượt có:

+ Tập xác định \(D = R.\)

+ Đạo hàm: \(y’ = 3{x^2} + 12x + 9.\)

\(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x + 9 = 0\) \( \Leftrightarrow x = – 1\) hoặc \(x = – 3.\)

+ Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

Lựa chọn đáp án bằng phép thử: Ta có đánh giá:

Hàm đa thức bậc ba chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp:

+ Không có cực trị.

+ Một cực đại và một cực tiểu.

Suy ra các đáp án B và C bị loại.

Tính nhanh \(y’\) nhận thấy phương trình \(y’=0\) có hai nghiệm phân biệt.

Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắn.

Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán trên thì:

+ Trong cách giải tự luận chúng ta sử dụng quy tắc 1 để giải.

+ Trong cách lựa chọn đáp án bằng phép thử các em học sinh cần nắm vững kiến thức về tính chất cực trị của hàm đa thức bậc ba.

(Các bài tập tiếp theo được trình bày tương tự, bao gồm lời giải tự luận và lựa chọn đáp án bằng phép thử, cùng với nhận xét.)