bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số

Bài viết này trình bày phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến điều kiện tham số trong bài toán tương giao hàm trùng phương, một chủ đề quan trọng trong chương trình Giải tích 12, đặc biệt khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Xét hàm số trùng phương có dạng: \(y = f(x) = ax^4 + bx^2 + c\) (với \(a \neq 0\)). Để tìm điều kiện tham số liên quan đến giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, ta thực hiện các bước sau:

1. Phương trình hoành độ giao điểm: Giải phương trình \(ax^4 + bx^2 + c = 0\).
2. Đặt ẩn phụ: Đặt \(t = x^2 \geq 0\), phương trình trở thành \(at^2 + bt + c = 0\).
3. Phân tích nghiệm của phương trình bậc hai: Xét các trường hợp nghiệm của phương trình \(at^2 + bt + c = 0\) để xác định số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Bảng sau tóm tắt mối quan hệ giữa điều kiện của phương trình bậc hai và số giao điểm:

Lưu ý quan trọng:

• Trong một số trường hợp, phương trình \(at^2 + bt + c = 0\) có thể được giải bằng cách nhẩm nghiệm nếu có mối quan hệ đặc biệt giữa các hệ số \(a\), \(b\), \(c\). Ví dụ:
  • Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có hai nghiệm là \(t = 1\) và \(t = \frac{c}{a}\).
  • Nếu \(a – b + c = 0\) thì phương trình có hai nghiệm là \(t = –1\) và \(t = –\frac{c}{a}\).
• Nếu đồ thị hàm số \(y = f(x) = ax^4 + bx^2 + c\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì điều kiện cần là \(9b^2 = 100ac\).
• Phương pháp cô lập tham số \(m\) và sử dụng bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số trùng phương có thể được áp dụng để biện luận số giao điểm.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = x^4 – 2x^2 + 3 – m\) cắt trục hoành:

1. Tại bốn điểm phân biệt.
2. Tại ba điểm phân biệt.
3. Tại hai điểm phân biệt.
4. Không cắt trục hoành.

Giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x^4 – 2x^2 + 3 – m = 0\). Đặt \(t = x^2 \geq 0\), phương trình trở thành: \(t^2 – 2t + 3 – m = 0\).

1. Cắt tại bốn điểm phân biệt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
   
   {m – 2 /> 0}\\
   
   {3 – m /> 0}
   
   \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow 2 < m < 3.\)
2. Cắt tại ba điểm phân biệt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
   
   {3 – m = 0}\\
   
   {2 /> 0}
   
   \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m = 3.\)
3. Cắt tại hai điểm phân biệt: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
   
   {3 – m < 0}\\
   
   {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
   
   {1 – (3 – m) = 0}\\
   
   {1 /> 0}
   
   \end{array}} \right.}
   
   \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
   
   {m /> 3}\\
   
   {m = 2}
   
   \end{array}} \right..\)
4. Không cắt trục hoành: \(\left[ \begin{array}{l}
   
   {\Delta ‘ = m – 2 < 0}\\
   
   {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
   
   {\Delta ‘ = m – 2 \ge 0}\\
   
   {2 < 0\:\:{\rm{(loại)}}}\\
   
   {3 – m /> 0}
   
   \end{array}} \right.
   
   \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m < 2.\)

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = x^4 – (1 + 4m^2)x^2 + 4m^2\) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

(Giải tương tự như ví dụ 1)

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(Các bài tập trắc nghiệm và đáp án được giữ nguyên như trong nội dung gốc)

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Các bài tập tự luyện và đáp án được giữ nguyên như trong nội dung gốc)