THCS
THCS
Bài viết này trình bày phương pháp tìm điều kiện tham số trong bài toán tương giao của hàm bậc ba, một chủ đề quan trọng trong chương trình Giải tích 12, đặc biệt liên quan đến ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Để giải quyết bài toán tương giao của hàm bậc ba, cần lưu ý những điều sau:
| Số giao điểm của đồ thị $(C)$ với trục $Ox$ | Điều kiện | Đồ thị minh họa |
| Có ba giao điểm phân biệt | Hàm số có hai cực trị \({x_1}\), \({x_2}\) và \(y({x_1}).y({x_2}) < 0\) |  |
| Có hai giao điểm phân biệt | Hàm số có hai cực trị \({x_1}\), \({x_2}\) và \(y({x_1}).y({x_2}) = 0\) |  |
| Có một giao điểm | Hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị \({x_1}\), \({x_2}\) và \(y({x_1}).y({x_2}) /> 0\) |  |
Tuy nhiên, trong nhiều bài toán, việc xác định trực tiếp các giá trị \(y({x_1})\), \(y({x_2})\) có thể gặp khó khăn. Khi đó, có thể sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm cô lập tham số \(m.\)
Từ đó, biện luận phương trình bậc hai \(g(x) = 0\) để xác định điều kiện của tham số cần tìm.
Chú ý: Trong trường hợp phương trình hoành độ giao điểm có dạng \(A{m^2} + Bm + C = 0\), ta làm tương tự bằng cách giải hệ điều kiện \(A = B = C = 0\) để tìm nhân tử chung.
Ngoài ra, có thể áp dụng phương pháp cô lập \(m\) đã được giới thiệu trong các chuyên đề khác.
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^3} – 3x + {m^2} + m\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Ta có \(f'(x) = 3{x^2} – 3 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = – 1} \end{array}} \right..\)
Do đó, hàm số đã cho có hai cực trị là \({x_1} = 1\), \({x_2} = – 1.\)
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, cần \(f(1).f( – 1) < 0.\)
\(\Leftrightarrow \left( {{m^2} + m – 2} \right)\left( {{m^2} + m + 2} \right) < 0\) \(\Leftrightarrow {m^2} + m – 2 < 0\) \(\Leftrightarrow – 2 < m < 1.\)
Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^3} – 3{x^2} + 2m – 6\):
a) Cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
b) Cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Ta có \(f(x) = {x^3} – 3{x^2} + 2m – 6\) có \(f'(x) = 3{x^2} – 6x = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right..\)
Do đó, hàm số đã cho có hai cực trị là \({x_1} = 0\), \({x_2} = 2.\)
a) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi:
\(f(0).f(2) = 0\) \(\Leftrightarrow (2m – 6)(2m – 10) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 3}\\ {m = 5} \end{array}} \right..\)
b) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm duy nhất khi:
\(f(0).f(2) /> 0\) \(\Leftrightarrow (2m – 6)(2m – 10) /> 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m /> 5}\\ {m < 3} \end{array}} \right..\)
Ví dụ 3. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^3} – 3{x^2} + (m + 1)x – m + 1\):
a) Cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
b) Cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ đều dương.
c) Cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
d) Cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là:
\({x^3} – 3{x^2} + (m + 1)x – m + 1 = 0\) \(\Leftrightarrow m(x – 1) + {x^3} – 3{x^2} + x + 1 = 0.\)
\(\Leftrightarrow m(x – 1)\) \( + (x – 1)\left( {{x^2} – 2x – 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow (x – 1)\left( {{x^2} – 2x – 1 + m} \right) = 0.\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {g(x) = {x^2} – 2x – 1 + m = 0\:\:(1)} \end{array}} \right..\)
a) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi \((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta ‘ = 1 + 1 – m /> 0}\\ {g(1) = 1 – 1 – 1 + m \ne 0} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2 /> m}\\ {m \ne 1} \end{array}} \right..\)
b) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ đều dương khi phương trình \((1)\) có hai nghiệm dương phân biệt khác \(1.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta ‘ = 1 + 1 – m /> 0}\\ {g(1) = 1 – 1 – 1 + m \ne 0}\\ { – \frac{b}{a} /> 0}\\ {\frac{c}{a} /> 0} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m < 2}\\ {m \ne 1}\\ {2 /> 0}\\ {m – 1 /> 0} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow 1 < m < 2.\)
c) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt khi \((1)\) có nghiệm kép khác \(1\) hoặc có một nghiệm bằng \(1\) và một nghiệm còn lại khác \(1.\)
+ Nếu \((1)\) có nghiệm kép khác \(1\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta ‘ = 2 – m = 0}\\ {{x_1} = {x_2} = \frac{{ – b}}{{2a}} \ne 1} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 2}\\ {1 \ne 1\:\:{\rm{(loại)}}} \end{array}} \right..\)
+ Nếu \((1)\) có một nghiệm bằng \(1\) và một nghiệm còn lại khác \(1.\)
\(\Rightarrow g(1) = m – 2 = 0\) \(\Leftrightarrow m = 2.\)
Thử lại với \(m = 2\), ta có \(g(x) = {x^2} – 2x + 1\) \( = {(x – 1)^2} = 0\) \(\Leftrightarrow x = 1\) (loại).
Vậy không có giá trị nào của \(m\) để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
d) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm duy nhất khi \((1)\) có nghiệm kép bằng \(1\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta ‘ = 0}\\ {g(1) = 0} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2 – m = 0}\\ {m – 2 = 0} \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow m = 2.\)
Chú ý: Định lí Vi-et cho phương trình bậc ba:
Cho phương trình bậc ba có dạng: \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) \((a \ne 0)\) có ba nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\), \({x_3}.\) Khi đó ta luôn có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} + {x_2} + {x_3} = – \frac{b}{a}}\\ {{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \frac{c}{a}}\\ {{x_1}{x_2}{x_3} = \frac{{ – d}}{a}} \end{array}} \right..\)
Áp dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc ba giúp ta giải quyết các bài toán tương giao hàm bậc ba có liên quan cấp số cộng, cấp số nhân một cách tương đối ngắn gọn.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
...(Các bài tập và đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc)
IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
...(Các bài tập tự luyện và đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc)
