bài toán tương giao hàm phân thức hữu tỉ chứa tham số

Bài viết này trình bày phương pháp tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt đồ thị hàm phân thức hữu tỉ tại hai điểm phân biệt, một kỹ năng quan trọng trong chương trình Giải tích 12, đặc biệt khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Xét hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) (với \(ad – bc \ne 0\)) và đường thẳng \(d: y = mx + n\). Để tìm điều kiện để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình hoành độ giao điểm: Giải phương trình \(\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = mx + n\) (với \(x \ne – \frac{d}{c}\)).
2. Biến đổi phương trình: Biến đổi phương trình trên thành phương trình bậc hai theo \(x\) có dạng \(g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0\).
3. Điều kiện cắt tại hai điểm phân biệt: Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(g(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \( – \frac{d}{c}\). Điều này tương đương với hệ điều kiện:
   • \({a_1} \ne 0\)
   • \(\Delta /> 0\)
   • \(g\left( { – \frac{d}{c}} \right) /> 0\)

Nhận xét:

• Nếu \(A\), \(B\) là giao điểm của hai đồ thị thì \(A\left( {{x_1};m{x_1} + n} \right)\) và \(B\left( {{x_2};m{x_2} + n} \right)\), với \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình \(g(x) = 0\).
• Nếu hai giao điểm \(A\), \(B\) thuộc hai nhánh của đồ thị thì \({x_A} < – \frac{d}{c} < {x_B}\).
• Nếu hai giao điểm \(A\), \(B\) cùng thuộc một nhánh của đồ thị hàm số thì \({x_A}\), \({x_B} /> – \frac{d}{c}\) hoặc \({x_A}\), \({x_B} < – \frac{d}{c}\).

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) sao cho:

a) Hai điểm \(A\), \(B\) thuộc về cùng một nhánh của đồ thị hàm số.

b) Độ dài đoạn thẳng \(AB = 2\sqrt 3\).

c) Diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(4\sqrt 3\) với \(O\) là gốc tọa độ.

(Giải chi tiết như trong nội dung gốc)

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) \((C)\). Đường thẳng \(d:y=2x+m\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) sao cho:

a) Trọng tâm của tam giác \(OAB\) thuộc đường thẳng \({d_1}:y = – x + \frac{1}{3}\) với \(O\) là gốc tọa độ.

b) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) nhỏ nhất.

(Giải chi tiết như trong nội dung gốc)

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(Các bài tập trắc nghiệm và đáp án như trong nội dung gốc)

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Các bài tập tự luyện và đáp án như trong nội dung gốc)

Bài viết này cung cấp một hướng dẫn chi tiết và đầy đủ về phương pháp giải toán liên quan đến điều kiện tham số trong bài toán tương giao của hàm phân thức hữu tỉ. Các ví dụ minh họa và bài tập đa dạng giúp người học nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Điểm mạnh của bài viết là sự trình bày rõ ràng, logic và có hệ thống, cùng với việc cung cấp đầy đủ các bước giải và nhận xét quan trọng.