tìm điều kiện để phương trình f(x) = g(m) có n nghiệm liên quan đến giá trị tuyệt đối

Bài viết này trình bày phương pháp giải các bài toán tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(f(x) = g(m)\) có \(n\) nghiệm, đặc biệt trong các trường hợp liên quan đến giá trị tuyệt đối, áp dụng kiến thức về khảo sát hàm số bằng đạo hàm trong chương trình Giải tích 12.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải quyết các phương trình có chứa giá trị tuyệt đối, có hai phương pháp chính thường được sử dụng:

• Sử dụng đồ thị hàm số: Vẽ đồ thị hàm số liên quan đến giá trị tuyệt đối và phân tích số giao điểm của đồ thị với đường thẳng \(y = g(m)\) để xác định điều kiện của \(m\).
• Bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối: \[ \left| A \right| = \begin{cases} A & \text{khi } A \ge 0 \\ -A & \text{khi } A < 0 \end{cases} \] Sau đó, khảo sát sự biến thiên của hàm số thu được để tìm điều kiện của tham số \(m\).

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(\left| {x – 1} \right|\left( {{x^2} – 2x} \right) = m\) thỏa mãn:

• a) Có nghiệm.
• b) Có hai nghiệm phân biệt.
• c) Có ba nghiệm phân biệt.
• d) Có bốn nghiệm phân biệt.

Cách 1: Sử dụng đồ thị

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {x – 1} \right|\left( {{x^2} – 2x} \right)\). Quan sát đồ thị, ta có:

• Phương trình có nghiệm khi \(m \ge -2\).
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(m = -2\) hoặc \(m > 0\).
• Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi \(m = 0\).
• Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi \(-2 < m < 0\).

Cách 2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và khảo sát hàm số

Đặt \(t = \left| {x – 1} \right| \ge 0\). Khi đó, phương trình trở thành \(t\left( {{t^2} – 3} \right) = m\), hay \(t^3 – 3t = m\). Xét hàm số \(f(t) = t^3 – 3t\) với \(t \ge 0\). Ta có \(f'(t) = 3t^2 – 3 = 0\) khi \(t = 1\) (loại \(t = -1\) vì \(t \ge 0\)).

Bảng biến thiên của hàm số:

(Bảng biến thiên được cung cấp trong nội dung gốc)

Từ bảng biến thiên, ta thu được kết quả tương tự như cách 1.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(\left| {{x^4} – 2{x^2} – 3} \right| = 2m + 3\) thỏa mãn:

• a) Có năm nghiệm phân biệt.
• b) Có bốn nghiệm phân biệt.
• c) Có sáu nghiệm phân biệt.
• d) Có hai nghiệm phân biệt.

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^4} – 2{x^2} – 3} \right|\). Từ đồ thị, ta có:

• Phương trình có năm nghiệm phân biệt khi \(2m + 3 = 3 \Leftrightarrow m = 0\).
• Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi \(0 < 2m + 3 < 3\) hoặc \(2m + 3 = 4\), tức là \(- \frac{3}{2} < m < 0\) hoặc \(m = \frac{1}{2}\).
• Phương trình có sáu nghiệm phân biệt khi \(3 < 2m + 3 < 4 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{2}\).
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(2m + 3 = 0\) hoặc \(2m + 3 > 4\), tức là \(m = – \frac{3}{2}\) hoặc \(m > \frac{1}{2}\).

Ví dụ 3. Cho phương trình \(\left| {{x^3} – 3{x^2} + 4} \right| = m\). Tính tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1\), \(x_2\) phân biệt thỏa mãn \(-1 < x_1 < x_2 < 2\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} – 3{x^2} + 4} \right|\). Quan sát đồ thị, để phương trình có đúng hai nghiệm \(x_1\), \(x_2\) thỏa mãn \(-1 < x_1 < x_2 < 2\) thì \(0 < m < 4\). Vì \(m \in Z\), nên \(m \in \{1; 2; 3\}\). Tổng các giá trị của \(m\) là \(1 + 2 + 3 = 6\).

Ví dụ 4. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(\left| {{x^2} – 2x} \right| + 4x – 5 – m = 0\) thỏa mãn:

• a) Có nghiệm.
• b) Có hai nghiệm phân biệt.

Biến đổi phương trình, ta được \(m = \left| {{x^2} – 2x} \right| + 4x – 5\). Xét hàm số \(f(x) = \left| {{x^2} – 2x} \right| + 4x – 5\). Bảng biến thiên của hàm số được cung cấp trong nội dung gốc.

• Phương trình có nghiệm khi \(m \ge -6\).
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(m > -6\).

Ví dụ 5. Cho phương trình \(\left| {x – 1} \right| + 2{x^2} – 7x – m + 3 = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm trên đoạn \([-3;5]\)?

Biến đổi phương trình, ta được \(m = \left| {x – 1} \right| + 2{x^2} – 7x + 3\). Xét hàm số \(f(x) = \left| {x – 1} \right| + 2{x^2} – 7x + 3\). Bảng biến thiên của hàm số được cung cấp trong nội dung gốc.

Từ bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm trên đoạn \([-3;5]\), ta cần \(m \in [-\frac{5}{2}; 22]\). Do đó, có 26 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(Các bài tập trắc nghiệm và đáp án được cung cấp trong nội dung gốc)

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Các bài tập tự luyện và đáp án được cung cấp trong nội dung gốc)