THCS
THCS
Bài viết này trình bày phương pháp giải các bài toán liên quan đến việc tìm tọa độ giao điểm và đếm số giao điểm của đồ thị hàm số, một chủ đề quan trọng trong chương trình Giải tích 12.
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Để tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\), ta giải phương trình \(f(x) = g(x)\). Số nghiệm phân biệt của phương trình này chính là số giao điểm của hai đồ thị.
Chú ý: Trục hoành có phương trình \(y = 0\). Do đó, phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) với trục hoành là \(f(x) = 0\).
Chuyên đề này tập trung vào hai trường hợp cụ thể:
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hàm số \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6\). Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.
Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0\) có nghiệm \(x = 1, x = 2, x = 3\). Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Ví dụ 2: Cho hàm số \(f(x) = \frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 – x + 1}\). Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{x^2 – 2x – 3}{x^2 – x + 1} = 0\) có nghiệm \(x = -1, x = 3\). Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm \(A(-1;0)\) và \(B(3;0)\).
Ví dụ 3: Cho hàm số \(f(x) = x^3 + 4x – 2\) và \(g(x) = 3x^2 + 4x – 4\). Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho.
Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^3 + 4x – 2 = 3x^2 + 4x – 4\) tương đương với \(x^3 – 3x^2 + 2 = 0\), phân tích thành \((x – 1)(x^2 – 2x – 2) = 0\). Phương trình có nghiệm \(x = 1, x = 1 + \sqrt{3}, x = 1 - \sqrt{3}\). Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
Ví dụ 4: Cho hàm số \(f(x) = \frac{3x + 1}{x + 1}\) và \(g(x) = 3 – x\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho.
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{3x + 1}{x + 1} = 3 – x\) tương đương với \(x^2 + x – 2 = 0\), có nghiệm \(x = 1, x = -2\). Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại \(A(1;2)\) và \(B(-2;5)\).
Ví dụ 5: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình \(3f(x) – 2 = 0\).
Phương trình \(3f(x) – 2 = 0\) tương đương với \(f(x) = \frac{2}{3}\). Vẽ đường thẳng \(y = \frac{2}{3}\) lên đồ thị hàm số. Số giao điểm của đường thẳng và đồ thị là số nghiệm của phương trình. Quan sát hình vẽ, phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 6: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên. Tìm số nghiệm của phương trình \(3f(x) + 17 = 0\).
Phương trình \(3f(x) + 17 = 0\) tương đương với \(f(x) = -\frac{17}{3}\). Vì \(-6 < -\frac{17}{3} < -5\), đường thẳng \(y = -\frac{17}{3}\) cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài tập trắc nghiệm (Bài 1 - Bài 20) cùng với đáp án được cung cấp, giúp người học tự kiểm tra và củng cố kiến thức.
Đánh giá và nhận xét:
Bài viết cung cấp một hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu về phương pháp giải bài toán tìm tọa độ giao điểm và đếm số giao điểm của đồ thị hàm số. Các ví dụ minh họa đa dạng, bao gồm cả trường hợp tìm giao điểm với trục hoành, giao điểm giữa hai đồ thị hàm số, và sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên để giải quyết bài toán. Phần bài tập trắc nghiệm phong phú giúp người học luyện tập và đánh giá mức độ nắm vững kiến thức. Việc trình bày rõ ràng, có cấu trúc giúp người đọc dễ dàng theo dõi và tiếp thu nội dung. Tuy nhiên, bài viết có thể được cải thiện bằng cách bổ sung thêm các dạng bài tập khó hơn và các phương pháp giải khác nhau cho cùng một bài toán.
