1. Môn Toán
  2. tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa
tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa
Thể Loại: TIPS Giải Toán 11
Ngày đăng: 04/05/2020

tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa

Quý thầy cô và học sinh đang tham khảo tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa, bộ đề thi được xây dựng bám sát chuẩn toán math cập nhật nhất. Cấu trúc đề bảo đảm độ phủ kiến thức đồng đều, mức độ câu hỏi được cân chỉnh từ nhận biết đến vận dụng cao, phù hợp kiểm tra toàn diện năng lực. Hãy khai thác triệt để tài liệu này để đánh giá chính xác trình độ hiện tại và tối ưu chiến lược luyện thi của bạn.

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: giới hạn.

I. PHƯƠNG PHÁP

+ Để chứng minh \(\lim {u_n} = 0\) ta chứng minh với mọi số \(a />0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại một số \({n_a}\) sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < a\), \(\forall n /> {n_a}.\)

+ Để chứng minh \(\lim {u_n} = l\) ta chứng minh \(\lim \left( {{u_n} – l} \right) = 0.\)

+ Để chứng minh \(\lim {u_n} = + \infty \) ta chứng minh với mọi số \(M /> 0\) lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_M}\) sao cho \({u_n} /> M\), \(\forall n /> {n_M}.\)

+ Để chứng minh \(\lim {u_n} = – \infty \) ta chứng minh \(\lim \left( { – {u_n}} \right) = + \infty .\)

+ Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

1. \(\lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.\)

2. \(\lim \frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2}.\)

3. \(\lim \frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.\)

Lời giải:

1. Với \(a /> 0\) nhỏ tùy ý, ta chọn \({n_a} /> \frac{1}{a} – 1\), ta có: \(\left| {\frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} \right| = \frac{1}{{n + 1}}\) \( < \frac{1}{{{n_a} + 1}} < a\) với \(\forall n /> {n_a}.\)

Suy ra \(\lim \left| {\frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} \right| = 0\) \( \Rightarrow \lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.\)

2. Với \(a /> 0\) nhỏ tùy ý, ta chọn \({n_a} /> \sqrt {\frac{3}{a} – 1} \), ta có:

\(\left| {\frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – \frac{1}{2}} \right| = \frac{3}{{{n^2} + 1}}\) \( < \frac{3}{{n_a^2 + 1}} < a\) với \(\forall n /> {n_a}.\)

Suy ra \(\lim \left| {\frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – \frac{1}{2}} \right| = 0\) \( \Rightarrow \lim \frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2}.\)

3. Với \(a /> 0\) nhỏ tùy ý, ta chọn \({n_a} /> \sqrt {\frac{9}{{{a^2}}} – 1} \), ta có:

\(\left| {\frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} \right|\) \( = \left| {\frac{{1 – 2n + 2\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}} \right|\) \( < \left| {\frac{{1 – 2n + 2(n + 1)}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}} \right|\) \( = \frac{3}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}\) \( < \frac{3}{{\sqrt {n_a^2 + 1} }} < a\) với \(\forall n /> {n_a}.\)

Suy ra \(\lim \left| {\frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} \right| = 0\) \( \Rightarrow \lim \frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.\)

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): \({u_n} = {( – 1)^n}\) không có giới hạn.

Lời giải:

Ta có: \({u_{2n}} = 1\) \( \Rightarrow \lim {u_{2n}} = 1\); \({u_{2n + 1}} = – 1\) \( \Rightarrow \lim {u_{2n + 1}} = – 1.\)

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không có giới hạn.

Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:

1. \(\lim \frac{{{n^2} + 1}}{n} = + \infty .\)

2. \(\lim \frac{{2 – n}}{{\sqrt n }} = – \infty .\)

Lời giải:

1. Với mọi số thực dương \(M\) lớn tùy ý, ta có:

\(\left| {\frac{{{n^2} + 1}}{n}} \right| /> M\) \( \Leftrightarrow {n^2} – Mn + 1 /> 0\) \( \Leftrightarrow n /> \frac{{M + \sqrt {{M^2} – 4} }}{2}.\)

Ta chọn \({n_0} = \left[ {\frac{{M + \sqrt {{M^2} – 4} }}{2}} \right]\) thì ta có: \(\frac{{{n^2} + 1}}{n} /> M\), \(\forall n /> {n_0}.\)

Do đó: \(\lim \frac{{{n^2} + 1}}{n} = + \infty .\)

2. Với mọi \(M /> 0\) lớn tùy ý, ta có:

\(\frac{{n – 2}}{{\sqrt n }} /> M\) \( \Leftrightarrow n – M\sqrt n – 2 /> 0\) \( \Leftrightarrow n /> {\left( {\frac{{M + \sqrt {{M^2} + 8} }}{2}} \right)^2}.\)

Ta chọn \({n_0} = \left[ {{{\left( {\frac{{M + \sqrt {{M^2} + 8} }}{2}} \right)}^2}} \right]\) thì ta có: \(\frac{{n – 2}}{{\sqrt n }} /> M\), \(\forall n /> {n_0}.\)

Do đó: \(\lim \frac{{2 – n}}{{\sqrt n }} = – \infty .\)

III. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1. Chứng minh rằng:

1. \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) \(\left( {k \in {N^*}} \right).\)

2. \(\lim \frac{{1 – {n^2}}}{n} = – \infty .\)

Lời giải:

1. Với \(a /> 0\) nhỏ tùy ý, ta chọn: \({n_a} /> \sqrt[k]{{\frac{1}{a}}}\), ta có: \(\frac{1}{{{n^k}}} < \frac{1}{{n_a^k}} < a\), \(\forall n /> {n_a}\) nên có \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0.\)

2. Với mọi số dương \(M\) lớn tùy ý ta chọn \({n_M}\) thỏa mãn \(\frac{{n_M^2 – 1}}{{{n_M}}} /> M\) \( \Leftrightarrow {n_M} /> \frac{{M + \sqrt {{M^2} + 4} }}{2}.\)

Ta có: \(\frac{{{n^2} – 1}}{n} /> M\), \(\forall n /> {n_M}\) \( \Rightarrow \lim \frac{{{n^2} – 1}}{n} = + \infty .\)

Vậy \(\lim \frac{{1 – {n^2}}}{n} = – \infty .\)

Bài 2. Chứng minh các giới hạn sau:

1. \(\lim \frac{{\cos n + \sin n}}{{{n^2} + 1}} = 0.\)

2. \(\lim \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} = 0.\)

3. \(\lim \frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = + \infty .\)

Lời giải:

1. Ta có \(\frac{{|\cos n + \sin n|}}{{{n^2}}} < \frac{2}{{{n^2}}}\) mà \(\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\) \( \Rightarrow \lim \frac{{\cos n + \sin n}}{{{n^2} + 1}} = 0.\)

2. Với mọi số thực \(a/>0\) nhỏ tùy ý, ta chọn \({n_a} = \left[ {\frac{1}{{{a^2}}} – 1} \right] + 1.\)

Ta có: \(\frac{{\sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} < \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} < a\), \(\forall n /> {n_a}\) \( \Rightarrow \lim \frac{{\sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} = 0.\)

3. Với mọi \(M /> 0\) lớn tùy ý, ta chọn \({n_M} = \left[ {\frac{M}{3}} \right] + 1.\)

Ta có: \(\frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = 3n + \frac{1}{n} /> M\), \(\forall n /> {n_M}.\) Vậy \(\lim \frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = + \infty .\)

Bài 3. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

1. \(A = \lim \frac{{2n + 1}}{{n – 2}}.\)

2. \(B = \lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2} + 1}}.\)

Lời giải:

1. Với số thực \(a/>0\) nhỏ tùy ý, ta chọn \({n_a} /> \frac{5}{a} + 2 /> 2.\)

Ta có: \(\left| {\frac{{2n + 1}}{{n – 2}} – 2} \right| = \frac{5}{{|n – 2|}}\) \( < \frac{5}{{{n_a} – 2}} < a\), \(\forall n /> {n_a}.\)

Vậy \(A=2.\)

2. Với số thực \(a /> 0\) nhỏ tùy ý, ta chọn \({n_a}\) thỏa mãn: \(\frac{{2{n_a} + 3}}{{n_a^2 + 1}} < a\) \( \Leftrightarrow {n_a} /> \frac{{1 + \sqrt {{a^2} – 4a + 13} }}{a}.\)

Ta có: \(\frac{{2n + 3}}{{{n^2} + 1}} < a\), \(\forall n /> {n_a}\) \( \Rightarrow B = 0.\)

Bài 4. Chứng minh các giới hạn sau:

1. \(\lim \frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0.\)

2. \(\lim \sqrt[n]{a} = 1\) với \(a />0.\)

Lời giải:

1. Gọi \(m\) là số tự nhiên thỏa mãn: \(m + 1 /> |a|.\) Khi đó với mọi \(n /> m + 1.\)

Ta có: \(0 < \left| {\frac{{{a^n}}}{{n!}}} \right|\) \( = \left| {\frac{a}{1}.\frac{a}{2} \ldots \frac{a}{m}} \right|.\left| {\frac{a}{{m + 1}} \ldots \frac{a}{n}} \right|\) \( < \frac{{|a{|^m}}}{{m!}}.{\left( {\frac{{|a|}}{{m + 1}}} \right)^{n – m}}.\)

Mà \(\lim {\left( {\frac{{|a|}}{{m + 1}}} \right)^{n – m}} = 0.\)

Từ đó suy ra: \(\lim \frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0.\)

2. Nếu \(a =1\) thì ta có điều phải chứng minh.

Giả sử \(a />1.\) Khi đó: \(a = {[1 + (\sqrt[n]{a} – 1)]^n} /> n(\sqrt[n]{a} – 1).\)

Suy ra: \(0 < \sqrt[n]{a} – 1 < \frac{a}{n} \to 0\) nên \(\lim \sqrt[n]{a} = 1.\)

Với \(0 < a < 1\) thì \(\frac{1}{a} /> 1\) \( \Rightarrow \lim \sqrt[n]{{\frac{1}{a}}} = 1\) \( \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a} = 1.\)

Tóm lại ta luôn có: \(\lim \sqrt[n]{a} = 1\) với \(a /> 0.\)

Bài 5. Dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(1 < {x_1} < 2\) và \({x_{n + 1}} = 1 + {x_n} – \frac{1}{2}x_n^2\), \(\forall n \in {N^*}.\) Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm \(\lim {x_n}.\)

Lời giải:

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau: \(\left| {{x_n} – \sqrt 2 } \right| < \frac{1}{{{2^n}}}\), \(\forall n \ge 3.\)

Thật vậy ta kiểm tra được ngay bất đẳng thức đúng với \(n= 3.\)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n \ge 3\), tức là \(\left| {{x_n} – \sqrt 2 } \right| < \frac{1}{{{2^n}}}.\)

Khi đó ta có: \(\left| {{x_{n + 1}} – \sqrt 2 } \right|\) \( = \frac{1}{2}\left| {{x_n} – \sqrt 2 } \right|\left| {2 – \sqrt 2 – {x_n}} \right|\) \( \le \frac{1}{2}\left| {{x_n} – \sqrt 2 } \right|\left( {\left| {\sqrt 2 – {x_n}} \right| + \left| {2 – 2\sqrt 2 } \right|} \right).\)

\( < \frac{1}{2}\left| {{x_n} – \sqrt 2 } \right|\) \( < \frac{1}{2}\frac{1}{{{2^n}}} = \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}.\)

Do đó bất đẳng thức đúng đến \(n+1.\)

Mặt khác do \(\lim \frac{1}{{{2^n}}} = 0\) nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp ta có \(\lim \left( {{x_n} – \sqrt 2 } \right) = 0\) \( \Rightarrow \lim {x_n} = \sqrt 2 .\)

Chú ý: Ta có kết quả sau:

Cho hàm số \(f:R \to R\) thỏa: \(|f(x) – f(y)| \le q.|x – y|\) với mọi \(x,y \in R\) và \(q \in (0;1).\) Khi đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi \({u_0} = c\); \({u_n} = f\left( {{u_{n – 1}}} \right)\), \(\forall n = 2,3, \ldots \) có giới hạn hữu hạn là nghiệm của phương trình \(f(x) = x.\)

Sử dụng kết quả trên ta có nghiệm của phương trình \(f(x) = x\) có nghiệm là \(\sqrt 2 \) nên ta mới đi chứng minh \(\lim {x_n} = \sqrt 2 .\)

Bạn đang khám phá nội dung tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa trong chuyên mục toán lớp 11 trên nền tảng toán math. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.
Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:
Facebook: MÔN TOÁN
Email: montoanmath@gmail.com

đánh giá tài liệu

5/5
( đánh giá)
5 sao
100%
4 sao
0%
3 sao
0%
2 sao
0%
1 sao
0%