Tài liệu toán: Tìm Giới Hạn Hàm Số Bằng Định Nghĩa có file PDF & Đáp Án

Quý thầy cô và học sinh đang tham khảo tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa, bộ đề thi được xây dựng bám sát chuẩn tài liệu toán cập nhật nhất. Cấu trúc đề bảo đảm độ phủ kiến thức đồng đều, mức độ câu hỏi được cân chỉnh từ nhận biết đến vận dụng cao, phù hợp kiểm tra toàn diện năng lực. Hãy khai thác triệt để tài liệu này để đánh giá chính xác trình độ hiện tại và tối ưu chiến lược luyện thi của bạn.

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11.

I. PHƯƠNG PHÁP

Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa:

1. \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3{x^2} + x + 1} \right).\)

2. \(B = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} – 1}}{{x – 1}}.\)

3. \(C = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} – 2}}{{x – 2}}.\)

4. \(D = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 2}}{{x – 1}}.\)

Lời giải:

1. Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) mà \(\lim {x_n} = 1\) ta có: \(A = \lim \left( {3x_n^2 + {x_n} + 1} \right)\) \( = 3 + 1 + 1 = 5.\)

2. Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) mà \(\lim {x_n} = 1\) và \({x_n} \ne 1\), \(\forall n\) ta có:

\(B = \lim \frac{{\left( {{x_n} – 1} \right)\left( {x_n^2 + {x_n} + 1} \right)}}{{{x_n} – 1}}\) \( = \lim \left( {x_n^2 + {x_n} + 1} \right) = 3.\)

3. Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) mà \(\lim {x_n} = 2\) và \({x_n} \ne 2\), \(\forall n\) ta có:

\(B = \lim \frac{{\sqrt {{x_n} + 2} – 2}}{{{x_n} – 2}}\) \( = \lim \frac{{\left( {{x_n} – 2} \right)}}{{\left( {{x_n} – 2} \right)(\sqrt {{x_n} + 2} + 2)}}\) \( = \lim \frac{1}{{\sqrt {{x_n} + 2} + 2}}\) \( = \frac{1}{4}.\)

4. Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) mà \(\lim {x_n} = + \infty \) ta có:

\(D = \lim \frac{{3{x_n} + 2}}{{{x_n} – 1}}\) \( = \lim \frac{{3 + \frac{2}{{{x_n}}}}}{{1 – \frac{1}{{{x_n}}}}} = 3.\)

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số sau không có giới hạn:

1. \(f(x) = \sin \frac{1}{{\sqrt x }}\) khi \(x \to 0.\)

2. \(f(x) = {\cos ^5}2x\) khi \(x \to – \infty .\)

Lời giải:

1. Xét hai dãy \(\left( {{x_n}} \right):\) \({x_n} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{\pi }{2} + n2\pi } \right)}^2}}}\), \(\left( {{y_n}} \right):\) \({y_n} = \frac{1}{{{{(n\pi )}^2}}}.\)

Ta có: \(\lim {x_n} = \lim {y_n} = 0\) và \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = 1\); \(\lim f\left( {{y_n}} \right) = 0.\)

Nên hàm số không có giới hạn khi \(x \to 0.\)

2. Tương tự ý 1 xét hai dãy: \({x_n} = n\pi \); \({y_n} = \frac{\pi }{4} + n\pi .\)

Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} |f(x)| = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = 0.\)

Lời giải:

Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):\) \(\lim {x_n} = {x_0}\) ta có: \(\lim \left| {f\left( {{x_n}} \right)} \right| = 0\) \( \Rightarrow \lim f\left( {{x_n}} \right) = 0.\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = 0.\)

III. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa:

1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{x – 2}}.\)

2. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x + 2}}{{2x – 1}}.\)

3. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{{2x}}.\)

4. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x – 3}}{{x – 1}}.\)

Lời giải:

1. Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):\) \(\lim {x_n} = 1\) ta có: \(\lim \frac{{{x_n} + 1}}{{{x_n} – 2}} = – 2.\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{x – 2}} = – 2.\)

2. Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):\) \(\lim {x_n} = 1\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x + 2}}{{2x – 1}}\) \( = \lim \frac{{3{x_n} + 2}}{{2{x_n} – 1}}\) \( = \frac{{3.1 + 2}}{{2.1 – 1}} = 5.\)

3. Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):\) \(\lim {x_n} = 0\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{{2x}}\) \( = \lim \frac{{\sqrt {{x_n} + 4} – 2}}{{2{x_n}}}\) \( = \lim \frac{{{x_n}}}{{2{x_n}(\sqrt {{x_n} + 4} + 2)}}\) \( = \lim \frac{1}{{2(\sqrt {{x_n} + 4} + 2)}} = \frac{1}{8}.\)

4. Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):\) \({x_n} /> 1\), \(\forall n\) và \(\lim {x_n} = 1\) ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x – 3}}{{x – 1}}\) \( = \lim \frac{{4{x_n} – 3}}{{{x_n} – 1}} = + \infty .\)

Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn:

1. \(f(x) = \sin \frac{1}{x}\) khi \(x \to 0.\)

2. \(f(x) = \cos x\) khi \(x \to + \infty .\)

Lời giải:

1. Xét hai dãy số \({x_n} = \frac{1}{{\pi + 2n\pi }}\); \({y_n} = \frac{1}{{\frac{\pi }{2} + 2n\pi }}\) \( \Rightarrow \lim {x_n} = \lim {y_n} = 0.\)

Mà: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim [\sin (\pi + 2n\pi )] = 0.\)

\(\lim f\left( {{y_n}} \right) = \lim \left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi } \right)} \right] = 1.\)

Suy ra \(\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {{y_n}} \right).\)

Vậy hàm số \(f\) không có giới hạn khi \(x \to 0.\)

2. Xét hai dãy \({x_n} = 2n\pi \); \({y_n} = \frac{\pi }{2} + n\pi \) \( \Rightarrow \lim {x_n} = \lim {y_n} = + \infty .\)

Mà: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim [\cos (2n\pi )] = 1.\)

\(\lim f\left( {{y_n}} \right) = \lim \left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{2} + n\pi } \right)} \right] = 0.\)

Suy ra \(\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {{y_n}} \right).\)

Vậy hàm số \(f\) không có giới hạn khi \(x \to + \infty .\)

Bài 3. Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn:

\(f(x) = \cos \frac{1}{{{x^2}}}\) khi \(x \to 0.\)

Lời giải:

Xét hai dãy \(\left( {{x_n}} \right)\); \(\left( {{y_n}} \right)\) xác định bởi \({x_n} = \sqrt {\frac{1}{{2n\pi }}} \); \({y_n} = \sqrt {\frac{1}{{\frac{\pi }{2} + n\pi }}} .\)

Ta có: \(\lim {x_n} = \lim {y_n} = 0.\)

Nhưng: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = 1\); \(\lim f\left( {{y_n}} \right) = 0\) nên hàm số \(f\) không có giới hạn khi \(x \to 0.\)