Tài liệu toán: Tìm Hệ Số Của Số Hạng Chứa ${x^h}$ Trong Khai Triển Nhiều Hạng Tử có file PDF & Đáp Án

Quý thầy cô và học sinh đang tham khảo tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhiều hạng tử, bộ đề thi được xây dựng bám sát chuẩn soạn toán cập nhật nhất. Cấu trúc đề bảo đảm độ phủ kiến thức đồng đều, mức độ câu hỏi được cân chỉnh từ nhận biết đến vận dụng cao, phù hợp kiểm tra toàn diện năng lực. Hãy khai thác triệt để tài liệu này để đánh giá chính xác trình độ hiện tại và tối ưu chiến lược luyện thi của bạn.

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhiều hạng tử (ba hạng tử, bốn hạng tử …), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và Xác suất.

Bài 1: Tìm hệ số của ${x^6}$ trong khai triển ${\left[ {1 + {x^2}(1 + x)} \right]^7}.$

Lời giải:

Ta có: ${\left[ {1 + {x^2}(1 + x)} \right]^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{2k}}{(1 + x)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( {{x^2} + {x^3}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{x^{2k + h}}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_7^kC_k^h{x^{2k + h}}.$

Để có hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ chọn $k$, $h$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{2k + h = 6}\\

{h \le k}\\

{k = \overline {0..7} }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{h = 0}\\

{k = 3}

\end{array}} \right.}\\

{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{h = 2}\\

{k = 2}

\end{array}} \right.}

\end{array}} \right..$

Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là: $C_7^3C_3^0 + C_7^2C_2^2 = 56.$

Bài 2: Tìm hệ số của ${x^4}$ trong khai triển ${\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}.$

Lời giải:

Ta có: ${\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {(2x)^{k – h}}{\left( {3{x^2}} \right)^h}.$

$ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^k {C_{10}^k} } C_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^kC_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.$

Để có hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ chọn $k$, $h$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k + h = 4}\\

{h \le k}\\

{k = \overline {0..10} }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (4;0);(3;1);(2;2)\} .$

Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển là:

$C_{10}^4C_4^0{2^4} + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3 + C_{10}^2C_2^2{3^2} = 8085.$

Cách khác:

Ta có: ${\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}$ $ = {[1 + x(2 + 3x)]^{10}}$ $ = C_{10}^0$ $ + C_{10}^1x(2 + 3x)$ $ + C_{10}^2{x^2}{(2 + 3x)^2}$ $ + C_{10}^3{x^3}{(2 + 3x)^3}$ $ + C_{10}^4{x^4}{(2 + 3x)^4}$ $ + C_{10}^5{x^5}{(2 + 3x)^5}$ $ + \ldots + C_{10}^{10}{x^{10}}{(2 + 3x)^{10}}.$

Ta nhận thấy rằng số mũ của $x$ trong khai triển tăng dần, và ${x^4}$ chỉ chứa trong số hạng thứ $2$, thứ $3$, thứ $4$ trong khai triển trên.

Từ đó ta phân tích các khai triển: $C_{10}^2{x^2}{(2 + 3x)^2}$ $ = C_{10}^2C_2^0{2^2}{x^2}$ $ + C_{10}^2C_2^12.3{x^3}$ $ + C_{10}^2C_2^2{3^2}{x^4}.$

$C_{10}^3{x^3}{(2 + 3x)^3}$ $ = C_{10}^3C_3^0{2^3}{x^3}$ $ + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3{x^4}$ $ + C_{10}^3C_3^2{2.3^2}{x^5}$ $ + C_{10}^3C_3^3{3^3}{x^6}.$

$C_{10}^4{x^4}{(2 + 3x)^4}$ $ = C_{10}^4C_4^0{2^4}{x^4}$ $ + C_{10}^4C_4^1{2^3}.3{x^5}$ $ + \ldots + C_{10}^4C_4^4{3^4}{x^8}.$

Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển là:

$C_{10}^4C_4^0{2^4}$ $ + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3$ $ + C_{10}^2C_2^2{3^2}$ $ = 8085.$

Bài 3: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển: ${\left( {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^9}.$

Lời giải:

Ta có: ${\left( {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^9}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left( {2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {(2x)^{k – h}}{\left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^h}.$

$ = \sum\limits_{k = 0}^9 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_9^k} } C_k^h{(2)^{k – h}}{( – 1)^h}{x^{k – 3h}}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_9^kC_k^h{(2)^{k – h}}{( – 1)^h}{x^{k – 3h}}.$

Để có số hạng không chứa $x$, ta chọn $k$, $h$ thỏa mãn:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k – 3h = 0}\\

{h \le k}\\

{k = \overline {0..9} }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (3;1);(6;2);(9;3)\} .$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_9^3C_3^1{(2)^2}{( – 1)^1}$ $ + C_9^6C_6^2{(2)^4}{( – 1)^2}$ $ + C_9^9C_9^3{(2)^6}{( – 1)^3}$ $ = 14122.$

Bài 4: Tìm số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}$ trong khai triển ${\left( {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^7}.$

Lời giải:

Ta có: ${\left( {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( { – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^k}.$

$ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {\left( { – 2{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^{k – h}}{\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right)^h}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{( – 2)^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_7^kC_k^h{( – 2)^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.$

Để có số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = {x^{ – \frac{1}{3}}}$, ta chọn $k$, $h$ thỏa mãn:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{{3k – 7h}}{6} = – \frac{1}{3}}\\

{h \le k}\\

{k = \overline {0..7} }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3k – 7h = – 2}\\

{h \le k}\\

{k = \overline {0..7} }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k = 4}\\

{h = 2}

\end{array}} \right..$

Vậy số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}$ trong khai triển là: $C_7^4C_4^2{( – 2)^2}{x^{\frac{{ – 1}}{3}}} = \frac{{840}}{{\sqrt[3]{x}}}.$

Bài 5: Khai triển $f(x) = {\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}$ và viết lại dưới dạng: $f(x) = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.$ Tính ${a_9}.$

Lời giải:

Ta có: $f(x) = {\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}$ $ = {(1 + x)^5}{\left( {1 + {x^3}} \right)^5}.$

$ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}.\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l} {\left( {{x^3}} \right)^l}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^k} } C_5^l{x^{k + 3l}}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_5^kC_5^l{x^{k + 3l}}.$

Nhận thấy ${a_9}$ chính là hệ số của số hạng chứa ${x^9}$ trong khai triển, vì vậy chọn $k$, $l$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k + 3l = 9}\\

{k,l = \overline {0..5} }

\end{array}} \right..$

Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{l = \frac{{9 – k}}{3}}\\

{k,l = \overline {0..5} }

\end{array}} \right.$, do đó: $k \vdots 3$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k = 0 \Rightarrow l = 3}\\

{k = 3 \Rightarrow l = 2}

\end{array}} \right..$

Vậy có hai cặp số $(k,l)$ thỏa mãn.

Suy ra hệ số của số hạng chứa ${x^9}$ trong khai triển là: $C_5^3C_5^2 + C_5^0C_5^3 = 110.$

Bài 6: Giả sử ${\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}$ có khai triển thành đa thức: ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.$ Tính ${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}.$

Lời giải:

Ta có: ${\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}$ $ = {\left[ {(1 + x)\left( {1 + {x^2}} \right)} \right]^5}$ $ = {(1 + x)^5}{\left( {1 + {x^2}} \right)^5}.$

$ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^h} {x^{2h}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{x^{k + 2h}}.$

Chọn $x = -1$, ta được:

${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{( – 1)^{k + 2h}}$ $ = \left( {1 – 1 + {1^2} + {{( – 1)}^3}} \right) = 0.$

Vậy ${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}} = 0.$

Bài 7: Trong khai triển ${(x + y + z)^n}$, tìm số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ $(k,m < n).$

Lời giải:

Ta có: ${(x + y + z)^n}$ $ = {[(y + z) + x]^n}$ $ = C_n^0{(y + z)^n}$ $ + C_n^1x{(y + z)^{n – 1}}$ $ + C_n^2{x^2}{(y + z)^{n – 2}}$ $ + \ldots + C_n^k{x^k}{(y + z)^{n – k}}$ $ + \ldots + C_n^n{x^n}.$

Do đó số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ nằm trong khai triển $C_n^k{x^k}{(y + z)^{n – k}}.$

Mặt khác ta có: ${(y + z)^{n – k}}$ $ = C_{n – k}^0{z^{n – k}}$ $ + C_{n – k}^1y{z^{n – k – 1}}$ $ + C_{n – k}^2{y^2}{z^{n – k – 2}}$ $ + \ldots + C_{n – k}^m{y^m}{z^{n – k – m}}$ $ + \ldots + C_{n – k}^{n – k}{y^{n – k}}.$

Do đó số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ trong khai triển là: $C_n^kC_{n – k}^m{x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}.$

Bài 8: Trong khai triển ${\left( {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$, tìm số hạng chứa ${x^5}.$

Lời giải:

Ta có: ${\left( {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ $ = {\left[ {(1 + x)\left( {1 + 2{x^2}} \right)} \right]^{10}}$ $ = {(1 + x)^{10}}{\left( {1 + 2{x^2}} \right)^{10}}.$

$ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {2^{2h}}{x^{2h}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^k} } C_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{10}^kC_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.$

Để có số hạng chứa ${x^5}$, ta chọn $k$, $h$ sao cho:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k + 2h = 5}\\

{h,k = \overline {0..10} }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (1;2);(3;1)\} .$

Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là: $C_{10}^1C_{10}^2{2^4}{x^5} + C_{10}^3C_{10}^1{2^2}{x^5}$ $ = 12000{x^5}.$