Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Tính chất ba đường phân giác của tam giác - Tổng quan

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với điểm trên cạnh đối diện sao cho chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của góc đó. Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.

1. Định nghĩa đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của một góc của tam giác là tia phân giác của góc đó. Nói cách khác, đường phân giác chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

2. Tính chất đường phân giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác là định lý về đường phân giác: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

Cụ thể, cho tam giác ABC, với AD là đường phân giác của góc BAC (D nằm trên BC). Khi đó, ta có:

BD / CD = AB / AC

3. Ba đường phân giác đồng quy

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác và là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, đường tròn này tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.

4. Ứng dụng của tính chất ba đường phân giác

Tính chất ba đường phân giác có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tỷ lệ đoạn thẳng và tính độ dài cạnh. Ví dụ:

• Tính độ dài cạnh: Sử dụng định lý về đường phân giác để tính độ dài các đoạn thẳng trên cạnh bị chia bởi đường phân giác.
• Chứng minh tam giác cân: Nếu một đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến hoặc đường cao, thì tam giác đó là tam giác cân.
• Xác định tâm đường tròn nội tiếp: Tìm giao điểm của hai đường phân giác bất kỳ để xác định tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Gọi AD là đường phân giác của góc BAC (D thuộc BC). Tính độ dài BD và CD.

Giải:

Áp dụng định lý về đường phân giác, ta có:

BD / CD = AB / AC = 6 / 9 = 2 / 3

Mà BD + CD = BC = 12cm. Đặt BD = 2x, CD = 3x. Khi đó, 2x + 3x = 12cm, suy ra 5x = 12cm, x = 2.4cm.

Vậy BD = 2 * 2.4cm = 4.8cm và CD = 3 * 2.4cm = 7.2cm.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, với đường phân giác AD (D thuộc BC). Chứng minh AD là đường trung tuyến và đường cao của tam giác ABC.

Giải:

Vì tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC. Do đó, AD là đường phân giác của góc BAC, theo định lý về đường phân giác, ta có BD = CD. Vậy AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Mặt khác, vì tam giác ABC cân tại A, đường phân giác AD đồng thời là đường cao của tam giác ABC, tức là AD vuông góc với BC.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tính chất ba đường phân giác của tam giác, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập phong phú, đa dạng với các mức độ khó khác nhau, giúp bạn rèn luyện kỹ năng và tự tin hơn trong quá trình học tập.

7. Kết luận

Tính chất ba đường phân giác của tam giác là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 7. Việc hiểu rõ và nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác. Hãy dành thời gian ôn tập và luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất!