xét sự biến thiên của hàm số

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tự luận và trắc nghiệm xét sự biến thiên của hàm số trong chương trình Giải tích 12. Nội dung trình bày chi tiết phương pháp chung, kèm theo 19 bài tập minh họa với lời giải tự luận và cách tiếp cận bằng phép thử, cùng với những nhận xét quan trọng để học sinh nắm vững kiến thức.

1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để xét sự biến thiên của hàm số \(y = f(x)\), ta thực hiện theo các bước:

• Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số.
• Bước 2: Tính đạo hàm \(y’\), sau đó tìm các điểm tới hạn (thường bằng cách giải phương trình \(y’ = 0\)).
• Bước 3: Tính các giới hạn (nếu cần thiết để xác định tiệm cận hoặc hành vi của hàm số ở vô cực).
• Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số để tóm tắt các thông tin về tính đơn điệu, cực trị và giới hạn.

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

Bài tập 1. Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên \(R\)?

1. A. \(y = {\left( {{x^2} – 1} \right)^2} – 3x + 2.\)
2. B. \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
3. C. \(y = \frac{x}{{x + 1}}.\)
4. D. \(y = \tan x.\)

Đáp số trắc nghiệm B.

Lời giải tự luận:

Ta lần lượt:

• Với hàm số \(y = {\left( {{x^2} – 1} \right)^2} – 3x + 2\) xác định trên \(R\) thì:
• \(y’ = 2x\left( {{x^2} – 1} \right) – 3\) \( = 2{x^3} – 2x – 3.\)
• Hàm số trên không thể đồng biến trên \(R\) bởi \(y'(0) = – 3 < 0\), do đó đáp án A bị loại.
• Với hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) xác định trên \(R\) thì:
• \(y’ = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }} /> 0\) với mọi \(x \in R.\)
• Do đó đáp án B là đúng, tới đây chúng ta dừng lại.

Lựa chọn đáp án bằng phép thử:

• Trước tiên, hàm số đồng biến trên \(R\) thì phải xác định trên \(R.\) Do đó, các đáp án C và D bị loại. Tới đây ta chỉ còn phải lựa chọn A và B.
• Vì A là hàm số bậc bốn nên có đạo hàm là một đa thức bậc ba, và một đa thức bậc ba thì không thể luôn dương (do phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm), suy ra đáp án A không thỏa mãn.
• Do đó việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.

Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán trên thì:

• Trong cách giải tự luận chúng ta lần lượt thử cho các hàm số bằng việc thực hiện theo hai bước:
• Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.
• Bước 2: Đánh giá \(y’\) để xét tính đồng biến của nó trên \(R.\)
• Tới hàm số trong B chúng ta thấy thỏa mãn nên dừng lại ở đó. Trong trường hợp trái lại chúng ta sẽ tiếp tục hàm số ở C, tại đây nếu C thỏa mãn thì chúng ta lựa chọn đáp án C, còn không sẽ khẳng định D là đúng.
• Trong cách lựa chọn đáp án bằng phép thử chúng ta loại trừ dần bằng việc thực hiện theo hai bước:
• Bước 1: Sử dụng điều kiện cần để hàm số đơn điệu trên D là phải xác định trên D, chúng ta loại bỏ được các đáp án C và D bởi các hàm số này đều không xác định trên R.
• Bước 2: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc ba, để loại bỏ được đáp án A.

Bài tập 2. Hàm số \(y = {x^3} – 6{x^2} + 9x + 7\) đồng biến trên các khoảng:

1. A. \(( – \infty ;1)\) và \([3; + \infty ).\)
2. B. \(( – \infty ;1]\) và \([3; + \infty ).\)
3. C. \(( – \infty ;1]\) và \((3; + \infty ).\)
4. D. \(( – \infty ;1)\) và \((3; + \infty ).\)

Đáp số trắc nghiệm B.

Lời giải tự luận:

• Tập xác định \(D = R.\)
• Đạo hàm: \(y’ = 3{x^2} – 12x + 9.\)
• Hàm số đồng biến khi: \(y’ \ge 0\) \( \Leftrightarrow 3{x^2} – 12x + 9 \ge 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x \ge 3}\\
  
  {x \le 1}
  
  \end{array}} \right..\)
• Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(( – \infty ;1]\) và \([3; + \infty ).\)

Lựa chọn đáp án bằng phép thử:

• Nhận xét rằng hàm đồng biến khi \(y’ \ge 0\) do đó sẽ có hai nửa đoạn (dấu ngoặc vuông) nên các đáp án A, C và D bị loại.
• Do đó việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.

Nhận xét: Như vậy để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán trên thì:

• Trong cách giải tự luận chúng ta thực hiện theo hai bước:
• Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.
• Bước 2: Thiết lập điều kiện để hàm số đồng biến, từ đó rút ra được các khoảng cần tìm.
• Trong cách lựa chọn đáp án bằng phép thử, chúng ta loại trừ ngay được các đáp án A, C và D thông qua việc đánh giá về sự tồn tại của các dấu ngoặc vuông. Trong trường hợp các đáp án được cho dưới dạng khác, chúng ta có thể đánh giá thông qua tính chất của hàm đa thức bậc ba. Bài toán sau đây minh họa cho nhận xét này.

(Các bài tập 3 đến 19 được trình bày tương tự như bài tập 1 và 2, bao gồm lời giải tự luận, lựa chọn đáp án bằng phép thử và nhận xét. Do độ dài, nội dung chi tiết của các bài tập này sẽ không được liệt kê đầy đủ ở đây.)

Bài viết cung cấp một lượng lớn bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về sự biến thiên của hàm số. Cách trình bày chi tiết, kèm theo các nhận xét và phương pháp tiếp cận khác nhau, giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức và áp dụng linh hoạt vào các bài toán thực tế.