Bài 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính - Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài toán quy hoạch tuyến tính (Linear Programming - LP) là một phương pháp toán học để tối ưu hóa một hàm mục tiêu tuyến tính, với các ràng buộc là các bất đẳng thức tuyến tính và phương trình tuyến tính. Đây là một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, quản lý, kỹ thuật và khoa học.

1. Khái niệm cơ bản về bài toán quy hoạch tuyến tính

Một bài toán quy hoạch tuyến tính thường bao gồm các thành phần sau:

• Hàm mục tiêu: Là hàm số tuyến tính cần tối ưu hóa (tối đa hoặc tối thiểu). Ví dụ: f(x, y) = 3x + 2y
• Biến quyết định: Là các biến số cần tìm giá trị để tối ưu hóa hàm mục tiêu. Ví dụ: x, y
• Ràng buộc: Là các bất đẳng thức hoặc phương trình tuyến tính giới hạn miền giá trị của các biến quyết định. Ví dụ: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5

2. Các bước giải bài toán quy hoạch tuyến tính

1. Xây dựng mô hình toán học: Xác định hàm mục tiêu, biến quyết định và các ràng buộc.
2. Biểu diễn ràng buộc trên mặt phẳng tọa độ: Vẽ các đường thẳng tương ứng với các ràng buộc và xác định miền nghiệm.
3. Tìm các đỉnh của miền nghiệm: Các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng ràng buộc.
4. Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh: Thay giá trị tọa độ của các đỉnh vào hàm mục tiêu.
5. Chọn nghiệm tối ưu: Chọn đỉnh mà tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhất (nếu tối đa) hoặc nhỏ nhất (nếu tối thiểu).

3. Ví dụ minh họa

Bài toán: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm A cần 2 kg nguyên liệu và 1 giờ công. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm B cần 1 kg nguyên liệu và 2 giờ công. Xí nghiệp có 100 kg nguyên liệu và 80 giờ công. Hỏi xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm A và B để thu được lợi nhuận tối đa, biết rằng lợi nhuận từ mỗi đơn vị sản phẩm A là 30 nghìn đồng và từ mỗi đơn vị sản phẩm B là 40 nghìn đồng?

Giải:

• Biến quyết định:x là số sản phẩm A, y là số sản phẩm B.
• Hàm mục tiêu:f(x, y) = 30x + 40y (tối đa)
• Ràng buộc:
  • 2x + y ≤ 100 (nguyên liệu)
  • x + 2y ≤ 80 (công)
  • x ≥ 0, y ≥ 0

Giải hệ bất phương trình, ta tìm được miền nghiệm. Xác định các đỉnh của miền nghiệm và tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh. Chọn đỉnh cho giá trị hàm mục tiêu lớn nhất, ta tìm được nghiệm tối ưu.

4. Ứng dụng của bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán quy hoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng thực tế, bao gồm:

• Lập kế hoạch sản xuất: Xác định số lượng sản phẩm cần sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận hoặc giảm thiểu chi phí.
• Quản lý kho hàng: Xác định lượng hàng tồn kho tối ưu để đáp ứng nhu cầu và giảm thiểu chi phí lưu trữ.
• Vận tải: Xác định tuyến đường vận chuyển tối ưu để giảm thiểu chi phí vận chuyển.
• Phân bổ nguồn lực: Phân bổ nguồn lực hạn chế (ví dụ: vốn, nhân lực) một cách hiệu quả nhất.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về bài toán quy hoạch tuyến tính, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Truy cập montoan.com.vn để tìm thêm tài liệu học tập và bài tập luyện tập.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về bài toán quy hoạch tuyến tính. Chúc bạn học tập tốt!