Bài 1. Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính - Toán 12 Cánh Diều

Quy hoạch tuyến tính là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng, được sử dụng rộng rãi trong kinh tế, quản lý và nhiều lĩnh vực khác. Bài học này sẽ giới thiệu cho các em cách sử dụng hệ bất phương trình bậc nhất để mô hình hóa và giải quyết các bài toán quy hoạch tuyến tính đơn giản.

1. Giới thiệu về quy hoạch tuyến tính

Quy hoạch tuyến tính (Linear Programming - LP) là một phương pháp toán học để tối ưu hóa một hàm mục tiêu tuyến tính, với các ràng buộc là các bất phương trình tuyến tính. Mục tiêu của bài toán quy hoạch tuyến tính là tìm ra giá trị của các biến số sao cho hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, đồng thời thỏa mãn tất cả các ràng buộc.

2. Mô hình hóa bài toán quy hoạch tuyến tính

Để giải quyết một bài toán quy hoạch tuyến tính, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định các biến quyết định: Đây là các biến số mà chúng ta cần tìm giá trị để tối ưu hóa hàm mục tiêu.
2. Xây dựng hàm mục tiêu: Hàm mục tiêu là hàm số tuyến tính mà chúng ta muốn tối ưu hóa (lớn nhất hoặc nhỏ nhất).
3. Xây dựng các ràng buộc: Các ràng buộc là các bất phương trình tuyến tính giới hạn các giá trị của các biến quyết định.

3. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đồ thị

Đối với các bài toán quy hoạch tuyến tính với hai biến số, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị để giải quyết. Các bước thực hiện như sau:

1. Vẽ các đường thẳng tương ứng với các ràng buộc: Mỗi ràng buộc sẽ được biểu diễn bằng một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.
2. Xác định miền nghiệm: Miền nghiệm là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn tất cả các ràng buộc.
3. Tìm các đỉnh của miền nghiệm: Các đỉnh của miền nghiệm là các giao điểm của các đường thẳng.
4. Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh: Thay các tọa độ của các đỉnh vào hàm mục tiêu để tính giá trị tương ứng.
5. Chọn đỉnh cho giá trị hàm mục tiêu tối ưu: Nếu bài toán là tối đa hóa, chọn đỉnh cho giá trị hàm mục tiêu lớn nhất. Nếu bài toán là tối thiểu hóa, chọn đỉnh cho giá trị hàm mục tiêu nhỏ nhất.

4. Ví dụ minh họa

Bài toán: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm A cần 2 kg nguyên liệu và 1 giờ công. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm B cần 1 kg nguyên liệu và 2 giờ công. Xí nghiệp có 400 kg nguyên liệu và 200 giờ công. Hỏi xí nghiệp nên sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm A và B để có lợi nhuận cao nhất, biết rằng lợi nhuận của mỗi đơn vị sản phẩm A là 30 nghìn đồng và của mỗi đơn vị sản phẩm B là 40 nghìn đồng?

Giải:

• Biến quyết định: Gọi x là số đơn vị sản phẩm A, y là số đơn vị sản phẩm B.
• Hàm mục tiêu: Lợi nhuận Z = 30x + 40y (đơn vị: nghìn đồng).
• Ràng buộc:
  • 2x + y ≤ 400 (nguyên liệu)
  • x + 2y ≤ 200 (công)
  • x ≥ 0, y ≥ 0 (điều kiện không âm)

(Tiếp tục giải bằng phương pháp đồ thị và tìm ra kết quả tối ưu)

5. Bài tập thực hành

Các em hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:

• Bài tập 1: ...
• Bài tập 2: ...
• Bài tập 3: ...

Montoan.com.vn hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết các bài toán quy hoạch tuyến tính. Chúc các em học tập tốt!