Bài 1. Vecto trong không gian

Bài 1. Vecto trong không gian - SGK Toán 12 - Giải chi tiết

Bài 1. Vecto trong không gian là một trong những bài học quan trọng trong chương trình Toán 12, đặt nền móng cho việc hiểu và vận dụng các khái niệm về vectơ trong không gian ba chiều. Bài học này tập trung vào việc định nghĩa vectơ, các phép toán trên vectơ, và ứng dụng của vectơ trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian.

I. Khái niệm cơ bản về vectơ trong không gian

Một vectơ trong không gian được xác định bởi độ dài và hướng. Vectơ được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có mũi tên, trong đó mũi tên chỉ hướng của vectơ và độ dài của đoạn thẳng biểu thị độ dài của vectơ. Vectơ có thể được biểu diễn bằng tọa độ trong một hệ tọa độ Descartes ba chiều (Oxyz).

II. Các phép toán trên vectơ

Có ba phép toán cơ bản trên vectơ: cộng, trừ và nhân với một số thực.

• Phép cộng vectơ: Để cộng hai vectơ, ta cộng các tọa độ tương ứng của chúng.
• Phép trừ vectơ: Để trừ hai vectơ, ta trừ các tọa độ tương ứng của chúng.
• Phép nhân vectơ với một số thực: Để nhân một vectơ với một số thực, ta nhân mỗi tọa độ của vectơ với số thực đó.

III. Các ứng dụng của vectơ trong không gian

Vectơ có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian, bao gồm:

• Tính khoảng cách giữa hai điểm: Sử dụng vectơ để biểu diễn đoạn thẳng nối hai điểm, sau đó tính độ dài của vectơ đó.
• Tính góc giữa hai đường thẳng: Sử dụng vectơ chỉ phương của hai đường thẳng để tính góc giữa chúng.
• Kiểm tra tính song song, vuông góc của hai đường thẳng: Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương để kiểm tra.
• Tìm phương trình đường thẳng, mặt phẳng: Sử dụng vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương để xác định phương trình.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm vectơ AB và tính độ dài của nó.

Giải: Vectơ AB = (4-1; 5-2; 6-3) = (3; 3; 3). Độ dài của vectơ AB là |AB| = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3.

Ví dụ 2: Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (4; 5; 6). Tính tích vô hướng của a và b.

Giải: a.b = (1*4) + (2*5) + (3*6) = 4 + 10 + 18 = 32.

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về vectơ trong không gian, các em cần luyện tập thường xuyên các bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. montoan.com.vn cung cấp đầy đủ các bài tập và lời giải chi tiết để giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức một cách hiệu quả.

VI. Tổng kết

Bài 1. Vecto trong không gian là một bài học quan trọng, cung cấp những kiến thức cơ bản về vectơ và các phép toán trên vectơ. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!