Bài 18. Xác suất có điều kiện

Bài 18. Xác suất có điều kiện - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Xác suất có điều kiện là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Bài 18 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc hiểu rõ định nghĩa, công thức và ứng dụng của xác suất có điều kiện.

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện của sự kiện A khi biết sự kiện B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa là:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), với P(B) > 0

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của sự kiện A và B đồng thời xảy ra.
• P(B) là xác suất của sự kiện B xảy ra.

2. Các tính chất của xác suất có điều kiện

• 0 ≤ P(A|B) ≤ 1
• P(A|B) + P(¬A|B) = 1

3. Công thức xác suất đầy đủ

Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các sự kiện xung khắc và hợp của chúng bằng toàn bộ không gian mẫu Ω, thì xác suất của sự kiện A được tính bằng công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

4. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất của một sự kiện dựa trên thông tin về một sự kiện khác đã xảy ra:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là sự kiện cả hai quả bóng đều màu đỏ.

P(A) = (C₅²) / (C₈²) = 10/28 = 5/14

Ví dụ 2: Trong một lớp học có 60% học sinh giỏi môn Toán và 40% học sinh giỏi môn Văn. Biết rằng 20% học sinh giỏi cả hai môn. Tính xác suất một học sinh được chọn ngẫu nhiên là học sinh giỏi môn Toán, biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn.

Giải:

Gọi T là sự kiện học sinh giỏi môn Toán, V là sự kiện học sinh giỏi môn Văn.

P(T|V) = P(T ∩ V) / P(V) = 0.20 / 0.40 = 0.5

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về xác suất có điều kiện, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Một đồng xu được tung 3 lần. Tính xác suất để được ít nhất 2 mặt ngửa, biết rằng lần tung đầu tiên được mặt ngửa.
2. Hai người độc lập nhau bắn vào một mục tiêu. Người thứ nhất có xác suất bắn trúng là 0.6, người thứ hai có xác suất bắn trúng là 0.7. Tính xác suất để có đúng một người bắn trúng mục tiêu.
3. Trong một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm bị lỗi. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để cả hai sản phẩm đều không bị lỗi.

7. Kết luận

Bài 18. Xác suất có điều kiện là một phần quan trọng của chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về xác suất có điều kiện sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng vào thực tế.