bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng

Bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Hình học không gian, thường xuất hiện ở mức độ Vận dụng và Vận dụng cao trong các kỳ thi. Bên cạnh phương pháp dựng hình để xác định góc, việc nắm vững các phương pháp giải nhanh, đặc biệt hữu ích cho các bài toán trắc nghiệm, là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ giới thiệu và phân tích chi tiết ba phương pháp tiếp cận hiệu quả, giúp học sinh giải quyết gần như mọi dạng bài tập tính góc giữa hai mặt phẳng thường gặp.

I. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG PHÁP 1: SỬ DỤNG CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU

Đây là một kiến thức nền tảng của Hình học 11 mà học sinh cần nắm vững. Công thức tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) dựa trên hình chiếu của một điểm thuộc (P) lên (Q) được biểu diễn đơn giản như sau: Cho điểm S thuộc mặt phẳng (P), S’ là hình chiếu của S lên mặt phẳng (Q), khi đó cosα = S’/S, với α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Ưu điểm: Phương pháp này dễ hiểu, dễ áp dụng với những bài toán có sẵn tỉ lệ giữa hình chiếu và hình gốc.

PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG CÔNG THỨC GÓC NHỊ DIỆN

Đây là một công cụ mạnh mẽ, có khả năng giải quyết đa dạng các bài toán, từ đơn giản đến phức tạp. Phương pháp này dựa trên mối liên hệ giữa góc nhị diện và thể tích tứ diện.

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Đưa bài toán về việc tính góc giữa hai mặt phẳng kề nhau của một tứ diện. Đây là bước quan trọng và luôn thực hiện được.
2. Bước 2: Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện: V = (2S₁S₂sinα) / (3a), trong đó S₁ và S₂ là diện tích của hai mặt bên kề nhau của tứ diện, a là độ dài giao tuyến của hai mặt phẳng, và α là góc giữa hai mặt phẳng cần tìm.

Ưu điểm: Tính tổng quát cao, áp dụng được với nhiều dạng bài tập khác nhau. Việc biến đổi bài toán về tứ diện giúp tận dụng các mối quan hệ hình học để tìm ra lời giải.

PHƯƠNG PHÁP 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA

Đây là một phương pháp mạnh mẽ, tuy nhiên đòi hỏi người học phải nắm vững kiến thức về hệ tọa độ trong không gian và các công thức tính toán liên quan. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi bài toán có các yếu tố về đường vuông góc.

Cách thực hiện:

1. Bước 1: Xác định ba đường vuông góc chung của hai mặt phẳng.
2. Bước 2: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, chọn giao điểm của ba đường vuông góc chung làm gốc tọa độ.
3. Bước 3: Dựa vào giả thiết của bài toán để xác định tọa độ của các điểm liên quan.
4. Bước 4: Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng để suy ra kết quả.

Ưu điểm: Độ chính xác cao, đặc biệt hiệu quả với các bài toán có hình dạng đặc biệt như hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hoặc các bài toán liên quan đến lăng trụ đứng và chóp có cạnh vuông góc với đáy. Tuy nhiên, phương pháp này đòi hỏi kỹ năng giải toán tọa độ tốt và có thể tốn thời gian tính toán.

Theo kinh nghiệm, việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể và kỹ năng của người giải. Đối với các bài toán có giả thiết liên quan đến hình hộp chữ nhật, hình lập phương, phương pháp tọa độ hóa thường là lựa chọn tối ưu. Trong khi đó, các bài toán có yếu tố cạnh vuông góc với đáy hoặc liên quan đến lăng trụ đứng có thể được giải bằng phương pháp 2 hoặc phương pháp 1, tùy thuộc vào khả năng của người giải.

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN