căn bậc hai của một tích, một thương

Bài viết này cung cấp một tổng quan toàn diện về kiến thức và phương pháp giải các bài toán liên quan đến căn bậc hai của một tích và một thương. Nội dung được trình bày một cách có hệ thống, từ các quy tắc cơ bản đến các dạng bài tập cụ thể, giúp người học nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Căn bậc hai của một tích

1. Quy tắc khai phương một tích: Để khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.
2. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Để nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả.
3. Tổng quát: Với hai biểu thức \(A\) và \(B\) không âm, ta có: \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B .\)
4. Lũy thừa của một căn bậc hai:
   • Kết quả 1: \({(\sqrt A )^2} = A\) (với \(A \ge 0\)).
   • Kết quả 2: \({(\sqrt A )^3} = A\sqrt A .\)

II. Căn bậc hai của một thương

1. Quy tắc khai phương một thương: Để khai phương một thương \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a\) không âm và \(b\) dương, ta khai phương số \(a\) và số \(b\) lần lượt, rồi chia kết quả thứ nhất cho kết quả thứ hai.
2. Quy tắc chia hai căn bậc hai: Để chia căn bậc hai của một số \(a\) không âm cho căn bậc hai của một số \(b\) dương, ta chia số \(a\) cho số \(b\) rồi khai phương kết quả.
3. Tổng quát: Với biểu thức \(A\) không âm và biểu thức \(B\) dương, ta có: \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}.\)

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1. KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH – NHÂN CÁC CĂN BẬC HAI

I. Phương pháp giải

1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, nhân các căn bậc hai.
2. Phân tích các số trong dấu căn thành nhân tử nhằm xuất hiện bình phương.
3. Khi khai triển, chú ý hằng đẳng thức \({(\sqrt a )^2} = a\) \((a \ge 0).\)

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

• a) \(\sqrt {4.1,44.225} = 36.\)
• b) \(\sqrt {{2^4}.{{( – 3)}^2}} = 12.\)
• c) \(\sqrt {16,9.250} = 65.\)
• d) \(\sqrt {{3^2}{{.5}^4}} = 75.\)

Ví dụ 2: Áp dụng quy tắc nhân các căn thức, hãy tính:

• a) \(\sqrt 2 .\sqrt {18} = 6.\)
• b) \(\sqrt {1,6} .\sqrt {30} .\sqrt {48} = 48.\)
• c) \(\sqrt {0,4} .\sqrt {2,5} = 1.\)
• d) \(\sqrt {6,4} .\sqrt 5 .\sqrt {0,5} = 4.\)

Ví dụ 3: Khai triển:

• a) \({(\sqrt 3 + \sqrt 2 )^2} = 5 + 2\sqrt 6 .\)
• b) \({(\sqrt 5 – \sqrt 3 )^2} = 8 – 2\sqrt {15} .\)
• c) \((2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 ) = 1.\)

Ví dụ 4: Làm tính nhân:

• a) \((\sqrt {12} – 3\sqrt {75} )\sqrt 3 = – 39.\)
• b) \((\sqrt {18} – 4\sqrt {72} )2\sqrt 2 = – 84.\)
• c) \((\sqrt 6 – 2)(\sqrt 6 + 7) = – 8 + 5\sqrt 6 .\)
• d) \((\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-5) = – 7 – 3\sqrt 3 .\)

III. Bài tập

1. Tính: (các bài tập tương tự ví dụ 1)
2. Khai triển: (các bài tập tương tự ví dụ 2)
3. Làm tính nhân: (các bài tập tương tự ví dụ 3)

DẠNG 2. KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG – CHIA CÁC CĂN BẬC HAI

I. Phương pháp giải

1. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, chia các căn bậc hai.
2. Giản ước các phân số trong dấu căn, làm xuất hiện bình phương của một số.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

• a) \(\sqrt {\frac{{36}}{{169}}} = \frac{6}{{13}}.\)
• b) \(\sqrt {\frac{4}{9}:\frac{{25}}{{36}}} = \frac{4}{5}.\)
• c) \(\sqrt {0,0144} = 0,12.\)
• d) \(\sqrt {\frac{{4,9}}{{2,5}}} = \frac{7}{5}.\)

Ví dụ 2: Tính:

• a) \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {50} }} = \frac{1}{5}.\)
• b) \(\frac{{\sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }} = 3.\)
• c) \(\frac{{\sqrt {15} }}{{\sqrt {735} }} = \frac{1}{7}.\)
• d) \(\frac{{\sqrt {{6^5}} }}{{\sqrt {{2^3}{{.3}^5}} }} = 2.\)

Ví dụ 3: Tính:

• a) \(\sqrt {1\frac{9}{{16}}.5\frac{4}{9}.0,01} = \frac{7}{{24}}.\)
• b) \(\sqrt {1,44.1,21 – 1,44.0,4} = 1,08.\)
• c) \(\sqrt {\frac{{{{165}^2} – {{124}^2}}}{{164}}} = \frac{{17}}{2}.\)
• d) \(\sqrt {\frac{{{{149}^2} – {{76}^2}}}{{{{457}^2} – {{384}^2}}}} = \frac{{15}}{{29}}.\)

Ví dụ 4: Làm phép chia:

• a) \((\sqrt {48} – \sqrt {27} + 4\sqrt {12} ):\sqrt 3 = 9.\)
• b) \(\left( {\sqrt {{x^2}y} – \sqrt {x{y^2}} } \right):\sqrt {xy} = \sqrt x – \sqrt y .\)
• c) \((\sqrt 6 – 2)(\sqrt 6 + 7) = – 8 + 5\sqrt 6 .\)
• d) \((\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-5) = – 7 – 3\sqrt 3 .\)

III. Bài tập

1. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính: (các bài tập tương tự ví dụ 1)
2. Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính: (các bài tập tương tự ví dụ 2)
3. Làm tính chia: (các bài tập tương tự ví dụ 3)

Các dạng bài tập còn lại (DẠNG 3, DẠNG 4, DẠNG 5) cũng được trình bày tương tự với cấu trúc rõ ràng, bao gồm phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập thực hành.

Đánh giá và nhận xét:

Bài viết này có nhiều ưu điểm:

• Tính hệ thống: Nội dung được trình bày theo một cấu trúc logic, từ kiến thức cơ bản đến các dạng bài tập cụ thể.
• Tính đầy đủ: Bao gồm đầy đủ các kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải các bài toán về căn bậc hai của một tích và một thương.
• Tính minh họa: Các ví dụ minh họa được giải chi tiết, giúp người học dễ dàng hiểu và áp dụng.
• Tính thực hành: Bài tập thực hành đa dạng, giúp người học rèn luyện kỹ năng giải toán.
• Tính rõ ràng: Các quy tắc, định nghĩa và phương pháp giải được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu.

Nhìn chung, đây là một tài liệu học tập hữu ích cho học sinh, sinh viên và những người muốn nâng cao kiến thức về căn bậc hai.