công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và bài tập áp dụng

Bài viết này trình bày chi tiết phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Oxyz, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa và bài tập thực hành để người đọc có thể nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán liên quan.

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(d_1\) và \(d_2\) có phương trình:

\(d_1:\left\{ \begin{array}{*{20}{l}} x = {x_1} + {a_1}t \\ y = {y_1} + {b_1}t \\ z = {z_1} + {c_1}t \end{array} \right.\) và \(d_2:\left\{ \begin{array}{*{20}{l}} x = {x_2} + {a_2}t’ \\ y = {y_2} + {b_2}t’ \\ z = {z_2} + {c_2}t’ \end{array} \right.\) \(\left( {t;t’ \in R} \right)\).

Có hai phương pháp chính để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(d_1\) và \(d_2\):

Cách 1: Sử dụng hình chiếu vuông góc

• Bước 1: Xác định các vectơ chỉ phương \({\vec a_1}\) của \(d_1\), \({\vec a_2}\) của \(d_2\).
• Bước 2: Xác định các điểm \(M_1 \in d_1\), \(M_2 \in d_2\).
• Bước 3: Tính khoảng cách \(d(d_1; d_2) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right]} \right|}}.\)

Cách 2: Sử dụng đoạn vuông góc chung

• Bước 1: Gọi \(H \in d_1\), \(K \in d_2\) (tọa độ của H và K phụ thuộc vào các ẩn t và t’).
• Bước 2: Xác định \(H\) và \(K\) dựa trên điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{*{20}{l}} HK \bot d_1 \\ HK \bot d_2 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} \overrightarrow {HK} .{{\vec a}_1} = 0 \\ \overrightarrow {HK} .{{\vec a}_2} = 0 \end{array} \right..\)
• Bước 3: Tính khoảng cách \(d(d_1; d_2) = HK\).

Nhận xét: Trong các bài toán yêu cầu tìm phương trình đường vuông góc chung, phương pháp 2 thường hữu ích hơn.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), tính khoảng cách \(d\) từ giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\), \({\Delta _2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.\)

A. \(d = \sqrt 3 .\) B. \(d = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(d = 2\sqrt 3 .\) D. \(d = 3\sqrt 3 .\)

Lời giải: Kiểm tra được \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau. Sử dụng Cách 1 (tính độ dài đoạn vuông góc chung), ta tìm được \(d = \sqrt 3\). Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: (Tương tự Ví dụ 1, đáp án B)

Ví dụ 3: (Tương tự Ví dụ 1, đáp án C)

Ví dụ 4: (Tương tự Ví dụ 1, đáp án A)

Ví dụ 5: (Tương tự Ví dụ 1, đáp án B)

Ví dụ 6: (Tương tự Ví dụ 1, đáp án D)

Ví dụ 7: (Tương tự Ví dụ 1, đáp án B)

Ví dụ 8: (Tương tự Ví dụ 1, đáp án B)

Ví dụ 9: (Tương tự Ví dụ 1, đáp án C)

Ví dụ 10: (Tương tự Ví dụ 1, đáp án C)

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. ĐỀ BÀI

Câu 1: (Tương tự các ví dụ trên)

Câu 2: (Tương tự các ví dụ trên)

Câu 3: (Tương tự các ví dụ trên)

Câu 4: (Tương tự các ví dụ trên)

Câu 5: (Tương tự các ví dụ trên)

Câu 6: (Tương tự các ví dụ trên)

Câu 7: (Tương tự các ví dụ trên)

Câu 8: (Tương tự các ví dụ trên)

Câu 9: (Tương tự các ví dụ trên)

Câu 10: (Tương tự các ví dụ trên)

2. BẢNG ĐÁP ÁN