đề chọn đội tuyển toán năm 2024 – 2025 trường phổ thông năng khiếu – tp hcm

Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2024 – 2025 của trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Kỳ thi chính thức đã được diễn ra vào ngày 20 và 21 tháng 09 năm 2024.

Bộ đề thi năm nay được đánh giá cao về độ khó và tính phân loại, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Dưới đây là trích dẫn nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài toán 1: Cho đa thức P(x) = x⁴ – ax³ + 6x² – bx + c với a, b, c là các tham số thực. Biết rằng P(x) có 4 nghiệm thực không âm. Chứng minh 3a ≥ b + 8. Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc vận dụng các bất đẳng thức và mối liên hệ giữa nghiệm của đa thức với các hệ số.
2. Bài toán 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Lấy P là điểm thay đổi nằm trong tam giác ADC sao cho ∠CDP = ∠DAP. DP cắt AC tại điểm I.
   1. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp các tam giác PBC và PAI. Chứng minh PK đi qua một điểm cố định.
   2. Gọi H là giao điểm của AD và BC và (ω) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BHP. Tiếp tuyến tại H của (ω) cắt AC, CD tương ứng tại các điểm N, M. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN tiếp xúc với (ω) và tiếp điểm thuộc một đường tròn cố định.
   Nhận xét: Bài toán hình học này đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc về đường tròn, đối xứng, và các tính chất liên quan đến góc. Việc sử dụng phương pháp tọa độ hoặc biến đổi hình học có thể là chìa khóa để giải quyết bài toán.
3. Bài toán 3: Cho số nguyên tố p có dạng 4k + 3, với k là số nguyên dương. Chứng minh rằng có ít nhất (p + 1)/2 số nguyên dương a không vượt quá p, sao cho với mỗi số a tồn tại số nguyên dương m không vượt quá p – 1 để (a + 1)(a² + 1)(a³ + 1)…(a^m + 1) – 1 chia hết cho p. Nhận xét: Bài toán số học này yêu cầu thí sinh phải nắm vững các kiến thức về số nguyên tố, đồng dư thức và các tính chất liên quan đến phép chia hết.

Montoan.com hy vọng bộ đề thi này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.