đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn toán thpt năm học 2024 – 2025

Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025. Kỳ thi chính thức sẽ diễn ra vào ngày 25 và 26 tháng 12 năm 2024.

Điểm nổi bật của bộ đề thi này là tính toàn diện, bao phủ nhiều lĩnh vực kiến thức trọng tâm và nâng cao của chương trình Toán THPT, đồng thời đòi hỏi thí sinh phải có tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề sáng tạo. Đề thi được cung cấp kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tự ôn luyện và đánh giá năng lực một cách hiệu quả.

Dưới đây là trích dẫn một số bài toán tiêu biểu từ đề thi:

1. Bài toán 1: Cho một bảng ô vuông 3k × 3k (k là số nguyên dương), các ô của bảng được đánh tọa độ theo cột và hàng: ô (i; j) nằm trên cột thứ i từ trái qua phải và trên hàng thứ j từ dưới lên trên. Người ta muốn đặt 4k viên bi vào các ô của bảng, mỗi ô có không quá một viên, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

   • Mỗi hàng và mỗi cột đều có ít nhất một viên bi;
   • Mỗi viên bi nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất một viên bi khác.

   a) Xét k = 1. Có bao nhiêu cách đặt 4 viên bi vào bảng thỏa mãn các điều kiện trên? (Hai cách đặt bi được coi là khác nhau nếu có một ô (i; j) có bi trong một cách đặt nhưng không có bi trong cách còn lại).

   b) Xét k /> 1 tổng quát. Xác định số tự nhiên N lớn nhất sao cho với mọi cách đánh dấu N ô phân biệt trên bảng, luôn tồn tại một cách đặt 4k viên bi thỏa mãn các điều kiện trên mà không có viên bi nào đặt ở một trong N ô đã được đánh dấu.

2. Bài toán 2: Xét đa thức P(x) = x⁴ − x³ + x.

   a) Chứng minh rằng với mọi số dương a, đa thức P(x) − a có duy nhất một nghiệm dương.

   b) Xét dãy số (a_n) được xác định bởi a₁ = 1/3 và với mọi n /> 1, a_n+1 là nghiệm dương của đa thức P(x) − a_n. Chứng minh rằng dãy (a_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

3. Bài toán 3: Với mỗi số nguyên n /> 0, đặt u_n = (2 + √5)ⁿ + (2 − √5)ⁿ.

   a) Chứng minh rằng u_n là số nguyên dương với mọi n /> 0. Khi n thay đổi, số dư của u_n khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu?

   b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) với a, b nhỏ hơn 500 sao cho với mọi n lẻ ta có u_n ≡ a_n − b_n (mod 1111).

Đánh giá:

Bộ đề thi này có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức nền tảng, rèn luyện kỹ năng giải toán và có khả năng vận dụng linh hoạt các phương pháp toán học. Các bài toán được thiết kế một cách sáng tạo, có tính phân loại cao, giúp đánh giá chính xác năng lực của học sinh. Việc cung cấp đáp án và lời giải chi tiết là một điểm cộng lớn, hỗ trợ tối đa cho quá trình tự học và ôn tập của học sinh.