đề thi hsg toán 10 lần 15 năm 2024 hội các trường thpt chuyên dh&đb bắc bộ

Montoan.com trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 10 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 10, lần thứ 15 năm 2024, được tổ chức bởi Hội các trường THPT chuyên vùng Đồng bằng sông Hồng và Bắc Bộ. Kỳ thi chính thức diễn ra vào ngày 16 tháng 7 năm 2024.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy logic tốt. Nội dung đề thi bao gồm các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, cụ thể:

1. Bài toán Hình học:

   Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác, đồng quy tại trực tâm H (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB). Gọi O₁ là điểm đối xứng với O qua BC. Đường thẳng AO₁ cắt BC tại L, DE và HC cắt nhau tại M, DF và HB cắt nhau tại N. Yêu cầu:

   • a) Chứng minh MN vuông góc với AO₁.
   • b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tiếp xúc với đường tròn đường kính AL.

   Bài toán này kiểm tra kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, tính chất đối xứng và các tính chất liên quan đến trực tâm, đường cao của tam giác. Việc giải quyết bài toán đòi hỏi học sinh phải có khả năng vẽ hình chính xác, phân tích các mối quan hệ hình học và vận dụng các định lý phù hợp.

2. Bài toán Số học:

   Cho dãy số (a_n) xác định bởi công thức truy hồi. Yêu cầu:

   • a) Chứng minh a_kn chia hết cho a_n với mọi số nguyên dương k, n.
   • b) Chứng minh với mọi số nguyên tố p, tồn tại các số nguyên dương N và T sao cho a_n ≡ a_n+T (mod p) với mọi n ≥ N.
   • c) Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên tố p thỏa mãn: Trong dãy (a_n) có vô hạn số hạng chia hết cho p.

   Bài toán này tập trung vào các kiến thức về dãy số, tính chia hết, đồng dư thức và số nguyên tố. Để giải quyết bài toán, học sinh cần nắm vững các định lý về số học, kỹ năng chứng minh và khả năng suy luận logic.

3. Bài toán Tổ hợp:

   An và Bình cùng chơi một trò chơi trên bảng ô vuông kích thước (2n + 1) x (2n + 1). An là người đi trước. Ban đầu, tất cả các ô trên bảng đều có màu trắng. Ở mỗi lượt chơi, An tô một ô màu trắng thành màu xanh, Bình tô một ô màu trắng thành màu đỏ. Trò chơi kết thúc khi hai bạn tô hết tất cả các ô trên bảng. An thắng nếu với hai ô màu xanh bất kì tồn tại ít nhất một chuỗi các ô xanh lân cận kết nối chúng với nhau (hai ô gọi là lân cận nếu chúng có chung ít nhất một đỉnh). Nếu không thì Bình là người thắng.

   • a) Khi n = 1, xác định người chơi có chiến lược thắng.
   • b) Khi n ≥ 2, chứng minh Bình có chiến lược thắng.

   Bài toán này kiểm tra khả năng tư duy chiến lược, phân tích tình huống và đưa ra quyết định tối ưu. Học sinh cần hiểu rõ các khái niệm về đồ thị, đường đi và khả năng kết nối để giải quyết bài toán.

Nhận xét chung: Đề thi HSG Toán 10 lần 15 năm 2024 là một đề thi chất lượng, có tính phân loại cao, giúp đánh giá năng lực của học sinh một cách toàn diện. Việc luyện tập với đề thi này sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.