đề tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2021 – 2022 trường ptnk – tp hcm

MonToan.com.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lời giải chi tiết, đáp án và hướng dẫn chấm điểm chính thức của đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán năm học 2021 – 2022, trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.

Đề thi năm nay được đánh giá là có độ khó cao, đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần khả năng vận dụng linh hoạt và sáng tạo để giải quyết các bài toán. Đề thi bao gồm hai phần:

1. Phần Hình học:

Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A. Các điểm E, F lần lượt thay đổi trên các cạnh AB, AC sao cho EF // BC. Gọi D là giao điểm của BF với CE và H là hình chiếu vuông góc của D lên EF. Đường tròn (I) đường kính EF cắt BF, CE tương ứng tại M, N (M khác F, N khác E).

• a) Chứng minh rằng AD và đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN cùng đi qua tâm I của đường tròn (I).
• b) Gọi KL lần lượt là hình chiếu vuông góc của E, F lên BC và P, Q tương ứng là giao điểm của EM, FN với BC. Chứng minh các tứ giác AEPL, AFQK nội tiếp và không đổi khi E, F thay đổi.
• c) Chứng minh rằng nếu EL và FK cắt nhau trên đường tròn (I) thì EM và FN cắt nhau trên đường thẳng BC.

Nhận xét: Bài toán hình học này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đường tròn, tam giác đồng dạng, tính chất đường cao trong tam giác vuông và các định lý liên quan đến tứ giác nội tiếp. Yêu cầu thí sinh phải có tư duy hình học không gian tốt và khả năng phân tích, tổng hợp thông tin để tìm ra lời giải.

2. Phần Đại số:

Bài toán: Cho N tập hợp (N /> 6), mỗi tập hợp gồm 5 chữ cái khác nhau được lấy từ 26 chữ cái a, b, c, …, x, y, z.

• a) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng một chữ cái và không có chữ cái nào có mặt trong tất cả N tập hợp này. Chứng minh rằng không có chữ cái nào có mặt trong 6 tập hợp từ N tập hợp đã cho.
• b) Biết rằng trong số N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng hai chữ cái và không có hai chữ cái nào cũng có mặt trong tất cả N tập hợp này. Hỏi trong số N tập hợp đã cho, có nhiều nhất là bao nhiêu tập hợp có chung đúng hai chữ cái?

Nhận xét: Bài toán đại số này đòi hỏi thí sinh phải nắm vững kiến thức về tổ hợp, tập hợp và các kỹ năng chứng minh toán học. Bài toán này kiểm tra khả năng suy luận logic và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo.

MonToan.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết này, quý thầy cô và các em học sinh sẽ có thêm tài liệu tham khảo hữu ích để ôn tập và nâng cao kiến thức. Chúc các em học sinh đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới!