giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: số phức

Chào mừng các bạn học sinh lớp 12 đến với bài viết hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, chương Số phức. Bài viết này tập trung vào việc cung cấp lời giải dễ hiểu, kèm theo phân tích và bình luận về phương pháp giải cho từng dạng bài. Chúng tôi hi vọng rằng, qua bài viết này, các bạn sẽ nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết các bài tập về số phức.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z\), biết:

• a) \(z = 1 – \pi i.\)
• b) \(z = \sqrt 2 – i.\)
• c) \(z = 2\sqrt 2 .\)
• d) \(z = – 7i.\)

Lời giải:

• a) Số phức \(z = 1 – \pi i\) có phần thực bằng \(1\), phần ảo bằng \(-\pi .\) Nhận xét: Bài tập cơ bản về nhận diện phần thực và phần ảo.
• b) Số phức \(z = \sqrt 2 – i\) có phần thực bằng \(\sqrt 2\), phần ảo bằng \(-1.\) Ưu điểm: Giúp học sinh làm quen với các ký hiệu toán học liên quan đến số phức.
• c) Số phức \(z = 2\sqrt 2 \) có phần thực bằng \(2\sqrt 2 \), phần ảo bằng \(0.\)
• d) Số phức \(z = – 7i\) có phần thực bằng \(0\), phần ảo bằng \(-7.\)

Bài 2. Tìm số thực \(x\) và \(y\) biết:

• a) \((3x – 2) + (2y + 1)i\) \( = (x + 1) – (y – 5)i.\)
• b) \((1 – 2x) – i\sqrt 3 \) \( = \sqrt 5 + (1 – 3y)i.\)
• c) \((2x + y) + (2y – x)i\) \( = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.\)

Lời giải:

• a) \((3x – 2) + (2y + 1)i\) \( = (x + 1) – (y – 5)i.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x – 2 = x + 1}\\{2y + 1 = – y + 5}\end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = 3}\\{3y = 4}\end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{3}{2}}\\{y = \frac{4}{3}}\end{array}} \right..\) Nhận xét: Bài toán sử dụng tính chất hai số phức bằng nhau. Cần cẩn thận trong việc giải hệ phương trình.
• b) \((1 – 2x) – i\sqrt 3 \) \( = \sqrt 5 + (1 – 3y)i\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 – 2x = \sqrt 5 }\\{ – \sqrt 3 = 1 – 3y}\end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}}\\{y = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{3}}\end{array}} \right..\)
• c) \((2x + y) + (2y – x)i\) \( = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y = x – 2y + 3}\\{2y – x = y + 2x + 1}\end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y – 3 = 0}\\{ – 3x + y – 1 = 0}\end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 1}\end{array}} \right..\) Ưu điểm: Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình tuyến tính.

Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện:

• a) Phần thực của \(z\) bằng \(-2.\)
• b) Phần ảo của \(z\) bằng \(3.\)
• c) Phần thực của \(z\) thuộc khoảng \((-1;2).\)
• d) Phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([1;3].\)
• e) Phần thực và phần ảo của \(z\) đều thuộc đoạn \([-2;2].\)

Lời giải:

• a) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) có phần thực bằng \(–2\) là đường thẳng song song với trục \(Oy\), cắt trục \(Ox\) tại điểm có tọa độ \((-2;0)\). Nhận xét: Liên hệ giữa số phức và hình học, giúp học sinh hình dung rõ hơn về số phức.
• b) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) có phần ảo bằng \(3\) là một đường thẳng song song với trục \(Ox\) và cắt trục \(Oy\) tại điểm có tọa độ là \((0;3)\). Ưu điểm: Củng cố kiến thức về hệ tọa độ và biểu diễn số phức.
• c) Tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức \(z\) có phần thực thuộc khoảng \((-1;2)\) là một phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai đường \(x = -1\) và \(x = 2\), không kể các điểm nằm trên hai đường thẳng này.
• d) Tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức \(z\) có phần ảo thuộc đoạn \([1;3]\) là phần mặt phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = 1\) và \(y = 3\), lấy cả những điểm trên đường thẳng \(y = 1\) và \(y = 3.\)
• e) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn \([-2;2]\) là phần phẳng giới hạn bởi các đường \(x = -2\), \(y = -2\), \(x = 2\) và \(y = 2\), lấy tất cả những điểm nằm trên biên.

Bài 4. Tính \(|z|\), với:

• a) \(z = – 2 + i\sqrt 3 .\)
• b) \(z = \sqrt 2 – 3i.\)
• c) \(z = -5.\)
• d) \(z = i\sqrt 3 .\)

Lời giải:

• a) \(z = – 2 + i\sqrt 3 \) \( \Rightarrow |z| = \sqrt {{{( – 2)}^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 7 .\) Nhận xét: Áp dụng công thức tính module của số phức.
• b) \(z = \sqrt 2 – 3i\) \( \Rightarrow |z| = \sqrt {{{(\sqrt 2 )}^2} + {{( – 3)}^2}} = \sqrt {11} .\) Ưu điểm: Giúp học sinh thành thạo công thức tính module.
• c) \(z = – 5\) \( \Rightarrow |z| = \sqrt {{{( – 5)}^2} + {0^2}} = 5.\)
• d) \(z = i\sqrt 3 \) \( \Rightarrow |z| = \sqrt {{0^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 3 .\)

Bài 5. Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện:

• a) \({|z| = 1.}\)
• b) \({|z| \le 1.}\)
• c) \({1 < |z| \le 2.}\)
• d) \({|z| = 1}\) và phần ảo của \(z\) bằng \(1.\)

Lời giải:

• a) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z| = 1\) là tập hợp các điểm thuộc đường tròn tâm \(O(0;0)\) có bán kính \(R = 1\). Nhận xét: Liên hệ giữa module của số phức và đường tròn.
• b) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z| \le 1\) là một hình tròn có bán kính \(R = 1\) và tâm \(O(0;0)\). Ưu điểm: Phát triển khả năng tư duy hình học.
• c) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(1 < |z| \le 2\) là miền phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 1\) và \(R = 2\), lấy cả những điểm thuộc đường tròn bán kính \(R = 2\), nhưng không lấy những điểm thuộc đường tròn có bán kính bằng \(1.\)
• d) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là giao điểm của đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 1\) và đường thẳng \(y = 1\) chỉ có một điểm \((0;1).\)

Bài 6. Tìm \(\overline z \), biết:

• a) \(z = 1 – i\sqrt 2 .\)
• b) \(z = – \sqrt 2 + i\sqrt 3 .\)
• c) \(z = 5.\)
• d) \(z = 7i.\)

Lời giải:

• a) \(z = 1 – i\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \bar z = 1 + i\sqrt 2 .\) Nhận xét: Áp dụng công thức tìm số phức liên hợp.
• b) \(z = – \sqrt 2 + i\sqrt 3 \) \( \Rightarrow \bar z = – \sqrt 2 – i\sqrt 3 .\) Ưu điểm: Giúp học sinh nắm vững khái niệm số phức liên hợp.
• c) \(z = 5\) \( \Rightarrow \bar z = 5.\)
• d) \(z = 7i\) \( \Rightarrow \overline z = – 7i.\)