giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết giải các bài tập về đường tiệm cận của đồ thị hàm số trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, bao gồm cả phần "Câu hỏi và bài tập" và phần "Luyện tập". Nội dung được trình bày một cách hệ thống, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 34. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

• a) \(y = \frac{{x – 2}}{{3x + 2}}.\)
• b) \(y = \frac{{ – 2x – 2}}{{x + 3}}.\)
• c) \(y = x + 2 – \frac{1}{{x – 3}}.\)
• d) \(y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x + 1}}.\)
• e) \(y = \frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}}.\)
• f) \(y = \frac{x}{{{x^3} + 1}}.\)

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định: \(R\backslash \left\{ { – \frac{2}{3}} \right\}.\)

• Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \frac{1}{3}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \frac{1}{3}\) nên đường thẳng \(y = \frac{1}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị.
• Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{2}{3}} \right)}^ – }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{2}{3}} \right)}^ + }} y = – \infty \) nên đường thẳng \(x = – \frac{2}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

b) Tập xác định: \(R\backslash \{ – 3\} .\)

• Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – 2\) nên đường thẳng \(y = – 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị.
• Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 3)}^ – }} y = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 3)}^ + }} y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = -3\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

c) Tập xác định: \(R\backslash \{ 3\} .\)

• Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = – \infty \) nên đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
• Đường thẳng \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị, vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {x + 2 – \frac{1}{{x – 3}} – (x + 2)} \right] = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x + 2 – \frac{1}{{x – 3}} – (x + 2)} \right] = 0.\)

d) Cách 1: Sử dụng phép chia đa thức để viết lại hàm số: \(y = \frac{1}{2}x – \frac{7}{4} + \frac{{23}}{{4(2x + 1)}}.\)

• Tập xác định: \(R\backslash \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\}.\)
• Làm tương tự câu c để có \(y = \frac{1}{2}x – \frac{7}{4}\) là tiệm cận xiên, \(x = – \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng.

Cách 2:

• Tập xác định: \(R\backslash \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\}.\)
• Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ – }} y = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = – \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
• Tính giới hạn để tìm tiệm cận xiên: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{x(2x + 1)}} = \frac{1}{2}\), \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x + 1}} – \frac{1}{2}x} \right] = – \frac{7}{4}\). Vậy đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x – \frac{7}{4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị.

e) Hàm số xác định trên \(R\backslash \{ \pm 1\} .\)

• Tìm tiệm cận đứng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ + }} y = – \infty \) nên đường thẳng \(x = -1\) là tiệm cận đứng.
• Tìm tiệm cận ngang: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\) nên đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang.

Kết luận: Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng \(x = \pm 1\) và một tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0.\)

f) \(y = \frac{x}{{{x^3} + 1}}\): hàm số xác định trên \(R\backslash \{ – 1\} .\)

• Tìm tiệm cận ngang: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 0\) nên đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang.
• Tìm tiệm cận đứng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ + }} y = – \infty \) nên đường thẳng \(x = -1\) là tiệm cận đứng.

Kết luận: Đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0\) và tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = -1.\)

Bài 35. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

• a) \(y = \frac{{2x – 1}}{{{x^2}}} + x – 3.\)
• b) \(y = \frac{{{x^3} + 2}}{{{x^2} – 2x}}.\)
• c) \(y = \frac{{{x^3} + x + 1}}{{{x^2} – 1}}.\)
• d) \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{ – 5{x^2} – 2x + 3}}.\)

Bài 36. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

• a) \(y = \sqrt {{x^2} – 1} .\)
• b) \(y = 2x + \sqrt {{x^2} – 1} .\)
• c) \(y = x + \sqrt {{x^2} + 1} .\)
• d) \(y = \sqrt {{x^2} + x + 1} .\)

LUYỆN TẬP

Bài 37. Tìm các tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

• a) \(y = x + \sqrt {{x^2} – 1} .\)
• b) \(y = \sqrt {{x^2} – 4x + 3} .\)
• c) \(y = \sqrt {{x^2} + 4} .\)
• d) \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – 1}}.\)

Bài 38.

• a) Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 3}}.\)
• b) Xác định giao điểm \(I\) của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} .\)
• c) Viết phương trình của đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY.\) Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong \((C).\)

Bài 39. Cùng các câu hỏi như bài tập 38 đối với đồ thị của các hàm số sau:

• a) \(y = \frac{{{x^2} + x – 4}}{{x + 2}}.\)
• b) \(y = \frac{{{x^2} – 8x + 19}}{{x – 5}}.\)

Ưu điểm:

• Chi tiết và đầy đủ: Bài viết cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập, bao gồm cả các bước tính toán trung gian, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và hiểu rõ cách giải.
• Phân loại rõ ràng: Bài viết chia thành các phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập", giúp học sinh dễ dàng tìm kiếm và ôn tập kiến thức.
• Hướng dẫn rõ ràng: Các bước giải được trình bày một cách logic và dễ hiểu, phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12.