THCS
THCS
Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao (phần Câu hỏi và bài tập, và phần Luyện tập) được trình bày một cách hệ thống và dễ hiểu. Bài viết này tập trung vào việc cung cấp lời giải tường minh, kèm theo phân tích và bình luận, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải quyết các dạng bài tập khác nhau.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = \frac{{7\pi }}{6}.\)
Lời giải:
Ta thấy \(\sin x + 1 \ge 0\), \(\forall x \in \left( {0;\frac{{7\pi }}{6}} \right)\) nên diện tích \(S\) cần tìm bằng:
\(S = \int_0^{\frac{{7\pi }}{6}} | \sin x + 1|dx\) \( = \int_0^{\frac{{7\pi }}{6}} {(\sin x + 1)dx} \) \( = \left. {( – \cos x + x)} \right|_0^{\frac{{7\pi }}{6}}.\)
\( = \left( { – \cos \frac{{7\pi }}{6} + \frac{{7\pi }}{6}} \right)\) \( – ( – \cos 0 + 0)\) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{7\pi }}{6} + 1.\)
Nhận xét: Bài toán này minh họa trường hợp đơn giản khi hàm số luôn dương trên đoạn tích phân, giúp học sinh dễ dàng áp dụng công thức tính diện tích.
Bài 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
Lời giải:
a) Diện tích \(S\) cần tìm:
\(S = \int_0^\pi {{{\cos }^2}} xdx\) \( = \int_0^\pi {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} \) \( = \left. {\frac{1}{2}x} \right|_0^\pi + \left. {\frac{{\sin 2x}}{4}} \right|_0^\pi \) \( = \frac{\pi }{2}.\)
Nhận xét: Câu này yêu cầu sử dụng công thức hạ bậc để tính tích phân, một kỹ năng quan trọng trong giải tích.
b) Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}\) là nghiệm của phương trình:
\(\sqrt x = \sqrt[3]{x}\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^3} = {x^2}}\\ {x \ge 0} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right..\)
Diện tích cần tìm \(S = \int_0^1 | \sqrt x – \sqrt[3]{x}|dx\) \( = \int_0^1 {(\sqrt[3]{x} – \sqrt x )dx} .\)
\( = \int_0^1 {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} – {x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx} \) \( = \left. {\left( {\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} – \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^1\) \( = \frac{3}{4} – \frac{2}{3} = \frac{1}{{12}}.\)
Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi kỹ năng giải phương trình và tính tích phân với lũy thừa hữu tỉ.
c) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số: \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} – 2{x^2}\) (với \(x /> 0\)).
\(2{x^2} = {x^4} – 2{x^2}\) \( \Leftrightarrow {x^4} – 4{x^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} – 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right..\)
Vậy diện tích cần tìm \(S = \int_0^2 {\left| {{x^4} – 2{x^2} – 2{x^2}} \right|dx} \) \( = \int_0^2 {\left| {{x^4} – 4{x^2}} \right|dx} .\)
\( = \int_0^2 {{x^2}} \left| {{x^2} – 4} \right|dx\) \( = \int_0^2 {{x^2}} \left( {4 – {x^2}} \right)dx\) \( = \int_0^2 {\left( {4{x^2} – {x^4}} \right)dx} .\)
\( = \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} – \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2\) \( = \frac{{32}}{3} – \frac{{32}}{5} = \frac{{64}}{{15}}.\)
Nhận xét: Bài tập này yêu cầu xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để phá dấu và tính tích phân một cách chính xác.
Bài 28. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:
Lời giải:
a) Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(S = \int_{ – 3}^2 {\left| {\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right)} \right|dx} .\)
\( = \int_{ – 3}^{ – 2} {\left[ {\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right)} \right]dx.} \)
\( = \int_{ – 3}^2 {\left( {2{x^2} + 2x – 4} \right)dx} .\)
\( = \left. {\left( {2\frac{{{x^3}}}{3} + 2\frac{{{x^2}}}{2} – 4x} \right)} \right|_{ – 3}^{ – 2}\) \( = \frac{{11}}{3}.\)
Chú ý: Ở câu này, nếu không vẽ hình thì phải chứng tỏ được rằng \(\forall x \in [ – 3; – 2]\) thì \(\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right) \ge 0\) để phá được dấu giá trị tuyệt đối.
Nhận xét: Việc vẽ hình giúp xác định chính xác dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối, tránh sai sót trong quá trình tính toán.
b) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số đã cho là:
\({x^2} – 4 = – {x^2} – 2x\) \( \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = – 2} \end{array}} \right..\)
Dựa vào hình vẽ ở câu a ta có:
\(S = \int_{ – 2}^1 {\left| {\left( {{x^2} – 4} \right) – ( – {x^2} – 2x)} \right|dx} \) \( = \int_{ – 2}^1 {\left[ { – \left( {2{x^2} + 2x – 4} \right)} \right]dx} .\)
\( = \left. {\left( { – 2\frac{{{x^3}}}{3} – 2\frac{{{x^2}}}{2} + 4x} \right)} \right|_{ – 2}^1 = 9.\)
Nhận xét: Sau khi tìm được giao điểm, việc xác định dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên từng khoảng là rất quan trọng.
c) Diện tích cần tìm \(S = \int_{ – 2}^4 {\left| {{x^3} – 4x} \right|dx} .\)
Ta có: \({x^3} – 4x = x\left( {{x^2} – 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \pm 2} \end{array}} \right..\)
Vậy \(S = \int_{ – 2}^0 {\left( {x_ – ^3 – 4x} \right)dx} \) \( + \int_0^2 {\left[ { – \left( {{x^3} – 4x} \right)} \right]dx} \) \( + \int_2^4 {\left( {{x^3} – 4x} \right)dx} .\)
\( = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ – 2}^0\) \( + \left. {\left( {\frac{{ – {x^4}}}{4} + \frac{{4{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2\) \( + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_2^4 = 44.\)
Nhận xét: Bài tập này yêu cầu xét dấu biểu thức dưới dấu tích phân trên nhiều khoảng khác nhau, đòi hỏi sự cẩn thận và chính xác.
