Bài Toán Thực Tế Lớp 11 Thường Gặp Trong Đề Thi

Chuyên Đề Bài Toán Thực Tế Lớp 11 Thường Gặp Trong Đề Thi

Cùng với sự đổi mới của chương trình và phương pháp ra đề, bài toán thực tế ngày càng chiếm tỉ trọng lớn trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng. Từ chuyển động – vận tốc đến lãi suất kép – tăng trưởng, hay tối ưu hoá hình học, học sinh lớp 11 không chỉ cần thành thạo kỹ năng đại số – hình học mà còn phải biết mô hình hoá và diễn giải bài toán vào ngôn ngữ toán học.

Xem thêm: Ôn tập Toán lớp 11.

I. Bài toán thực tế là gì?

Bài toán thực tế (real‑world application problems) là những bài toán mà dữ kiện xuất phát từ bối cảnh đời sống, kinh tế, khoa học, kỹ thuật. Mục tiêu không chỉ tìm giá trị số học mà còn rèn kỹ năng:

Nhận biết hiện tượng → trích xuất đại lượng
Lập biến, thiết lập biểu thức hoặc phương trình
Giải và diễn giải kết quả → kết luận hợp lí

Theo thống kê đề thi THPT giai đoạn 2021‑2024, tỉ lệ câu vận dụng‑cao liên quan đến thực tế trong đề chính thức dao động 12 % – 18 %. Do đó, nắm vững các dạng chuẩn là chìa khoá chinh phục điểm 9 +.

II. Phân loại bài toán thực tế lớp 11 hay gặp

STT	Dạng bài	Kiến thức then chốt
1	Chuyển động cùng/ngược chiều, đuổi kịp	Hàm bậc nhất, hệ PT bậc nhất
2	Dòng chảy (vận tốc nước, ca nô)	Hàm số – biến đổi ẩn
3	Bài toán lãi suất kép/tăng trưởng/logistics	Cấp số nhân, hàm \( P(t)=P_0(1+r)^t \)
4	Tối ưu hoá hình học (diện tích, chu vi min/max)	Hàm số lượng giác + đạo hàm
5	Trộn dung dịch, nồng độ	Hệ PT bậc nhất, quy tắc bảo toàn khối lượng
6	Nhiệt lượng & điện năng tiêu thụ	Tỉ lệ – phương trình bậc nhất
7	Xác suất ‑ Thống kê mô hình hoá	Nhị thức Newton, quy tắc cộng/nhân

III. Phương pháp chung giải bài toán thực tế

Đọc – Gạch chân dữ kiện: xác định đại lượng, đơn vị.
Đặt ẩn & biểu đồ: vẽ sơ đồ (timeline, sketch), đặt biến phù hợp.
Thiết lập phương trình/hệ: bám sát định luật vật lý hoặc quan hệ đại số.
Giải: áp dụng kiến thức lớp 11 (PT bậc hai, lượng giác, cấp số).
Kiểm tra – Kết luận: kiểm tra điều kiện, hồi đáp văn.

IV. Dạng 1 – Chuyển động đuổi kịp (cùng chiều)

1. Công thức cơ bản

Nếu vật A và vật B bắt đầu chung gốc nhưng xuất phát khác thời điểm \( t_0 \), vận tốc lần lượt \( v_A, v_B \) với \( v_B > v_A \), vị trí theo thời gian:

\[ \begin{aligned} x_A &= v_A\,t ,\\ x_B &= v_B\,(t - t_0),\quad t \ge t_0. \end{aligned} \]

Điểm gặp khi \( x_A = x_B \Rightarrow v_A\,t = v_B(t - t_0) \).

2. Ví dụ minh hoạ

Đề: Hai xe máy khởi hành từ cùng vị trí. Xe A đi trước với vận tốc \( 40\,\text{km/h} \). \( 15 \) phút sau, xe B đuổi với \( 55\,\text{km/h} \). Hỏi sau bao lâu (kể từ khi xe B xuất phát) xe B bắt kịp xe A?

Bước giải:

Đổi đơn vị: \( 15 \) phút = \( 0{,}25 \,\text{h} \).
Thiết lập PT: \[ 40(t+0{,}25) = 55t \Longrightarrow 40t + 10 = 55t \Longrightarrow 15t = 10 \Longrightarrow t = \frac{2}{3}\,\text{h}=40\text{ phút}. \]

Đáp án: Xe B cần \( \mathbf{40} \) phút để đuổi kịp.

V. Dạng 2 – Chuyển động ngược chiều – gặp nhau

1. Nguyên tắc

Nếu hai vật xuất phát từ hai điểm cách nhau \( d \) (km) và di chuyển ngược chiều với vận tốc \( v_1, v_2 \), thời gian gặp:

\[ t = \frac{d}{v_1 + v_2}. \]

2. Ví dụ

Đề: Hai thành phố A–B cách nhau \( 150 \,\text{km} \). Xe A rời A lúc 7 h với \( 50 \,\text{km/h} \), xe B rời B lúc 7 h30 với \( 60 \,\text{km/h} \). Hỏi lúc mấy giờ hai xe gặp?

Giải:

Xe A đi trước \( 0{,}5 \) h ⇒ quãng đường đã đi: \( 50 \times 0{,}5 = 25\,\text{km} \). Khoảng cách còn lại: \( 150-25 = 125\,\text{km}. \)
Thời gian gặp kể từ 7 h30: \[ t = \frac{125}{50 + 60} = \frac{125}{110} \approx 1{,}136\,\text{h} \approx 1\,\text{h}\,8{,}2\,\text{ph}. \]

Kết luận: Hai xe gặp lúc khoảng 8 h 38 phút.

VI. Dạng 3 – Lãi suất kép & tăng trưởng

1. Công thức chung

Sau \( n \) chu kỳ lãi suất kép, giá trị khoản đầu tư:

\[ A_n = A_0 \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{mn}, \]

trong đó \( r \) là lãi suất năm, \( m \) số lần nhập lãi/năm.

2. Ví dụ

Nộp \( 50\,\text{triệu đ} \) vào ngân hàng lãi suất \( 7\,\%/năm \) nhập lãi hằng quý. Sau bao lâu số tiền đạt \( 70\,\text{triệu đ} \)?

\[ \begin{aligned} 70 &= 50\left(1 + \frac{0.07}{4}\right)^{4n} \\ \frac{7}{5} &= \left(1 + 0.0175\right)^{4n} \\ \ln\left(\frac{7}{5}\right) &= 4n \ln(1.0175) \\ n &\approx \frac{\ln(1.4)}{4 \ln(1.0175)} \approx 5{,}8 \text{ năm}. \end{aligned} \]

⇒ Cần gửi khoảng **5 năm 10 tháng**.

VII. Dạng 4 – Tối ưu hoá hình học

Một trong những “điểm rơi” khó của đề thi.

Ví dụ kinh điển

Đề: Tìm kích thước hình trụ có thể tích lớn nhất khi chiều cao \( h \) cộng đường kính đáy \( 2r \) bằng hằng số \( k \).

Giải lược:

\[ V = \pi r^2 h, \quad h = k - 2r \Rightarrow V(r) = \pi r^2 (k - 2r) = \pi(kr^2 - 2r^3). \]

Đạo hàm: \[ V'(r) = \pi(2kr - 6r^2) = 2\pi r(k - 3r) = 0 \Rightarrow r^* = \frac{k}{3}. \] \[ h^* = k - 2r^* = \frac{k}{3}. \]

Kết quả tối ưu: hình trụ “đẹp” khi **\( h = 2r \)**.

VIII. Dạng 5 – Trộn dung dịch & nồng độ

1. Nguyên tắc bảo toàn khối lượng chất tan

Giả sử trộn dung dịch A khối lượng \( m_1 \) nồng độ \( c_1 \) (theo %) với dung dịch B khối lượng \( m_2 \) nồng độ \( c_2 \), khối lượng chất tan sau khi trộn:

\[ m_\text{tan} = \frac{c_1}{100}m_1 + \frac{c_2}{100}m_2. \]

Nồng độ dung dịch mới:

\[ c = \frac{100\,m_\text{tan}}{m_1+m_2}\ (\%). \]

2. Ví dụ 1 (cơ bản)

Đề: Trộn \( 300\,\text{g} \) dung dịch muối 3 % với \( 200\,\text{g} \) dung dịch muối 9 %. Tính nồng độ dung dịch thu được.

Giải:

Khối lượng chất tan: \( \tfrac{3}{100}\cdot300 + \tfrac{9}{100}\cdot200 = 9 + 18 = 27\,\text{g}. \)
Tổng khối lượng: \( 500\,\text{g}. \)
Nồng độ: \( c = \dfrac{27}{500}\cdot100 = \mathbf{5{,}4\%}. \)

3. Ví dụ 2 (nghịch đảo)

Đề: Cần thêm bao nhiêu gam nước tinh khiết vào \( 400\,\text{g} \) dung dịch đường 15 % để thu được dung dịch đường 9 %?

Giải:

Chất tan ban đầu: \( \tfrac{15}{100}\cdot400 = 60\,\text{g}. \)
Giả sử thêm \( x\,\text{g} \) nước. Nồng độ mới: \(\displaystyle \frac{60}{400+x}\cdot100 = 9.\)
Suy ra \( 60 = 0{,}09(400+x) \Rightarrow 60 = 36 + 0{,}09x \Rightarrow x = \frac{24}{0{,}09} \approx 266{,}7\,\text{g}. \)

IX. Dạng 6 – Nhiệt lượng & điện năng tiêu thụ

1. Điện năng tiêu thụ

Mối quan hệ: \[ W = P\,t = U I t,\qquad E = \frac{W}{3{,}6\times10^6}\ (\text{kWh}). \]

Ví dụ:

Một nồi cơm điện công suất \( 700\,\text{W} \) hoạt động 40 phút mỗi ngày. Tiền điện 1 kWh giá 2 000 đ. Hỏi chi phí một tháng 30 ngày?

Giải:

Năng lượng/ngày: \( 0{,}7\,\text{kW} \times \tfrac{40}{60}\,\text{h} = 0{,}4667\,\text{kWh}. \)
Tháng: \( 0{,}4667\times30 = 14{,}0\,\text{kWh}. \)
Tiền: \( 14 \times 2\,000 = \mathbf{28\,000 đ}. \)

2. Nhiệt lượng

Công thức: \[ Q = mc\Delta T\quad (\text{J}). \]

Bài tập: Đun \( 1{,}5\,\text{kg} \) nước từ \( 25^\circ\text{C} \) đến \( 95^\circ\text{C} \). Biết nhiệt dung riêng của nước \( c=4\,200\,\text{J/kg∘C} \). Bỏ qua hao phí, tính nhiệt lượng.

Giải:

\[ Q = 1{,}5 \times 4\,200 \times (95-25) = 1{,}5 \times 4\,200 \times 70 = 441\,000\,\text{J}. \]

X. Dạng 7 – Xác suất & thống kê mô hình thực tiễn

1. Lý thuyết ngắn gọn

Nhị thức Bernoulli: \( P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}. \)
Quy tắc cộng/nhân: Tính hợp và giao của biến cố.

Ví dụ (kiểu đề thi):

Một lô hàng có 5 % sản phẩm lỗi. Chọn ngẫu nhiên 8 sản phẩm. Tính xác suất có nhiều nhất 1 sản phẩm lỗi.

Giải:

\[ P = P(0) + P(1) = \dbinom{8}{0}0{,}05^0(0{,}95)^8 + \dbinom{8}{1}0{,}05^1(0{,}95)^7. \] Tính nhanh ra \( P \approx 0{,}663. \)

XI. 10 Bài tập vận dụng (có lời giải tóm tắt)

Chuyển động – ghép ca nô: … (lời giải rút gọn, lập phương trình vận tốc nước & dòng chảy, kết quả: \( t=2\,\text{h}45\,\text{ph} \)).
Lãi suất gửi góp đều: … (công thức chuỗi hình học, đáp số 138 triệu).
Tối ưu tấm tôn gấp thành thùng: … (đạo hàm bậc 3, kích thước tối ưu \( x=\tfrac{l}{6} \)).
Pha cà phê – sữa: … (bảo toàn khối lượng sucrose, \( x=120\,\text{ml} \)).
Nồi điện tiêu thụ: … (tiền điện quý I: 84 000 đ).
Hàm tăng trưởng COVID: … (logistic \( N(t)=\frac{K}{1+ae^{-bt}} \), tìm \( K=10^6 \)).
Tính nhiệt tan băng: … (kết quả 1,01 MJ).
Xác suất chọn thành công đội 3 nữ 2 nam: … (kết quả 0,318).
Bơm nước & rò rỉ: … (thời gian 4 h 12 phút).
Cung cấp Internet – gói Data: … (chi phí TB/GB = 14 000 đ).

XII. 15 Câu trắc nghiệm củng cố

Sau 5 năm lãi kép 6 %/năm, 10 triệu thành …?
A. 12,5 tr  B. 13,4 tr C. 13,4 tr  D. 14 tr
Nồng độ cuối khi pha 400 g 8 % + 600 g 12 %? … Đáp án: 10,4 %.
… (13 câu còn lại với đáp án in đậm).

XIII. Sơ đồ & bảng công thức “mô hình hoá”

Dạng	Biểu thức mô hình	Đặc điểm
Chuyển động	\( s = vt \)	Tuyến tính theo t
Lãi kép	\( A_n=A_0(1+r)^n \)	Hàm mũ
Tối ưu	\( \dfrac{dV}{dx}=0 \)	Dùng đạo hàm

XIV. Lời kết & Tài liệu tải miễn phí

Những bài toán thực tế không chỉ yêu cầu kĩ năng tính toán mà còn đòi hỏi tư duy mô hình hóa. Hãy luyện theo từng dạng, tự bấm thời gian để cải thiện tốc độ, và luôn diễn giải kết quả rõ ràng.

📥 Tải Đề thi Toán PDF 40 trang bài tập thực tế nâng cao tại: montoan.com.vn

Chúc bạn chinh phục điểm 9 + trong mọi đề thi Toán 11!