Chuyên Đề Giới Hạn – Liên Tục Của Hàm Số Lớp 11

Chuyên Đề Giới Hạn – Liên Tục Của Hàm Số Lớp 11

Trong chương trình Toán lớp 11, chuyên đề Giới hạn – Liên tục của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc chuẩn bị kiến thức cho giải tích lớp 12 và đại học. Việc hiểu rõ lý thuyết, công thức và cách áp dụng bài tập thực tế sẽ giúp học sinh nâng cao tư duy Toán học và đạt điểm số cao trong các kỳ thi.

Xem thêm: Sách giáo khoa Toán 11.

Chuyên Đề Giới Hạn – Liên Tục Của Hàm Số Lớp 11 | Tổng Hợp Kiến Thức & Bài Tập

I. Lý thuyết cơ bản về giới hạn hàm số

1. Khái niệm giới hạn tại điểm

Cho hàm số \( f(x) \) xác định trên một khoảng (có thể trừ điểm \( a \)). Nếu tồn tại số \( L \) sao cho với mọi dãy số \( (x_n) \rightarrow a \) và \( x_n \ne a \), ta có:

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

Thì ta nói hàm số \( f(x) \) có giới hạn hữu hạn tại \( a \) và giới hạn đó là \( L \).

2. Giới hạn một bên

Giới hạn bên trái: \( \lim_{x \to a^-} f(x) \)
Giới hạn bên phải: \( \lim_{x \to a^+} f(x) \)

Nếu hai giới hạn một bên tồn tại và bằng nhau, thì:

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x) = L \]

3. Các giới hạn đặc biệt thường gặp

\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
\( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \)
\( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \)

4. Các dạng vô định và cách khử

Những dạng vô định thường gặp:

\( \frac{0}{0} \), \( \frac{\infty}{\infty} \)
\( 0 \cdot \infty \), \( \infty - \infty \)
\( 0^0 \), \( 1^\infty \), \( \infty^0 \)

Phương pháp xử lý: sử dụng hằng đẳng thức, phân tích nhân tử, nhân – chia biểu thức liên hợp, giới hạn đặc biệt, đổi biến.

II. Lý thuyết cơ bản về tính liên tục

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại điểm

Hàm số \( f(x) \) được gọi là liên tục tại điểm \( a \) nếu:

Hàm số xác định tại \( a \): \( f(a) \) tồn tại
Giới hạn \( \lim_{x \to a} f(x) \) tồn tại
\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)

2. Hàm số gián đoạn

Nếu một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, hàm số sẽ gián đoạn tại \( a \). Gián đoạn có thể là:

Gián đoạn kiểu 1: giới hạn hai bên tồn tại và bằng nhau nhưng khác giá trị tại điểm
Gián đoạn kiểu 2: giới hạn hai bên khác nhau
Gián đoạn kiểu 3: một hoặc cả hai giới hạn một bên không tồn tại

3. Một số định lý quan trọng về hàm số liên tục

Định lý trung gian: Nếu hàm liên tục trên đoạn \( [a, b] \), và \( f(a)f(b) < 0 \), thì tồn tại \( c \in (a, b) \) sao cho \( f(c) = 0 \)
Định lý giá trị lớn nhất – nhỏ nhất: Hàm số liên tục trên đoạn đóng \( [a, b] \) sẽ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại đâu đó trong đoạn

III. Các dạng bài tập giới hạn và liên tục lớp 11

Dạng 1: Tính giới hạn tại điểm

Phương pháp: Thay trực tiếp, rút gọn, sử dụng hằng đẳng thức hoặc biểu thức liên hợp.

Ví dụ 1: Tính giới hạn:

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \]

Lời giải:

Biểu thức ban đầu cho dạng vô định \( \frac{0}{0} \), ta phân tích tử số:

\[ \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \]

Vậy: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4 \]

Dạng 2: Giới hạn vô cực

Ví dụ 2: Tính giới hạn:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 1}{2x^2 - x + 4} \]

Giải: Chia cả tử và mẫu cho \( x^2 \):

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}} = \frac{3}{2} \]

Dạng 3: Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác trong giới hạn

Ví dụ 3: Tính giới hạn:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]

Lời giải: Đây là giới hạn đặc biệt: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

Dạng 4: Giới hạn bằng phương pháp liên hợp

Ví dụ 4: Tính giới hạn:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \]

Giải: Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp:

\[ \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{x + 3 - 4}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \]

Rút gọn: \[ \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4} \]

Dạng 5: Kiểm tra tính liên tục tại điểm

Ví dụ 5: Cho hàm số:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x \ne 2 \\ 3, & x = 2 \end{cases} \]

Hỏi hàm số có liên tục tại \( x = 2 \) không?

Lời giải:

\( f(2) = 3 \)
\( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 4 - 1 = 3 \)
Vì \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \) nên hàm số liên tục tại \( x = 2 \)

Dạng 6: Gián đoạn và điều kiện để hàm liên tục

Ví dụ 6: Cho hàm số:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & x \ne 2 \\ a, & x = 2 \end{cases} \]

Tìm giá trị \( a \) để hàm liên tục tại \( x = 2 \)

Lời giải:

Rút gọn: \( \frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2 \Rightarrow \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \)

Để hàm liên tục tại \( x = 2 \), ta cần \( a = 4 \)

Dạng 7: Sử dụng định lý trung gian

Ví dụ 7: Chứng minh phương trình \( x^3 - x + 1 = 0 \) có ít nhất một nghiệm trên đoạn \( [-2, 0] \)

Giải: Đặt \( f(x) = x^3 - x + 1 \)

\( f(-2) = (-8) + 2 + 1 = -5 \)
\( f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 \)

Vì \( f(-2) \cdot f(0) < 0 \), và \( f(x) \) là hàm liên tục trên \( [-2, 0] \), nên theo định lý trung gian, phương trình có ít nhất một nghiệm trong đoạn này.

IV. Câu hỏi trắc nghiệm củng cố

Câu 1: Giới hạn \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) bằng:

A. 0 B. 1 C. 2 D. Không tồn tại

Đáp án: C

Câu 2: Hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} \) liên tục trên:

A. \( \mathbb{R} \) B. \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) C. \( (-\infty; 0) \) D. \( (0; +\infty) \)

Đáp án: B

Câu 3: Hàm số \( f(x) = \sqrt{x} \) liên tục trên khoảng nào?

A. \( (-\infty; 0) \) B. \( \mathbb{R} \) C. \( (0; +\infty) \) D. \( [0; +\infty) \)

Đáp án: D

Câu 4: Với \( f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1 \\ ax + b, & x \ge 1 \end{cases} \), tìm a, b để hàm liên tục tại x = 1:

A. \( a = 2, b = -1 \) B. \( a = 2, b = -1 \) C. \( a = 2, b = -1 \) D. Không xác định

Đáp án: A

Câu 5: Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] sẽ:

A. Luôn luôn có nghiệm B. Có thể gián đoạn tại 1 điểm C. Luôn đạt GTLN và GTNN D. Không có GTNN

Đáp án: C

V. Hệ thống công thức cần nhớ

Giới hạn đặc biệt: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \), \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \)
Giới hạn vô cực: \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \)
Liên tục tại điểm: \[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]
Điều kiện liên tục: hàm xác định tại điểm, giới hạn tồn tại, giá trị bằng giới hạn

VI. Kết luận & Hướng dẫn ôn tập

Chuyên đề Giới hạn – Liên tục không chỉ quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11 mà còn là nền tảng cho Giải tích lớp 12 và kỳ thi đại học. Để học hiệu quả, bạn cần: