Bài Toán Về Góc Và Khoảng Cách Trong Không Gian – Toán 11

Trong chương trình Toán hình học lớp 11, các bài toán liên quan đến góc và khoảng cách trong không gian đóng vai trò cực kỳ quan trọng. Đây là phần kiến thức nền tảng không chỉ cho học sinh lớp 11 mà còn phục vụ trực tiếp cho các chuyên đề nâng cao lớp 12 và các kỳ thi học sinh giỏi, thi đại học.

Với bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào từng loại bài toán cụ thể, cung cấp công thức, phương pháp giải và ví dụ chi tiết để giúp học sinh dễ học – dễ áp dụng – dễ đạt điểm cao.

Xem thêm: Đề thi Toán lớp 11.

I. TỔNG QUAN VỀ CÁC BÀI TOÁN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

Các dạng bài toán về góc và khoảng cách trong không gian lớp 11 thường bao gồm:

• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Để giải được các bài toán này, học sinh cần nắm chắc kiến thức về:

• Vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến
• Các công thức hình học giải tích trong không gian
• Các định lý cơ bản về vuông góc, song song, hình chiếu vuông góc

II. GÓC TRONG KHÔNG GIAN

1. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc nhỏ nhất tạo bởi hai đường thẳng hoặc các vectơ chỉ phương tương ứng.

Công thức:

\[ \cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} \]

Trong đó:

• \( \vec{u}, \vec{v} \): các vectơ chỉ phương của hai đường
• \( \theta \): góc giữa hai đường

 

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng \( a \) và \( b \) có vectơ chỉ phương lần lượt là \( \vec{u} = (1,2,3) \) và \( \vec{v} = (3,2,1) \)

Lời giải:

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 3 + 4 + 3 = 10 \]
\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}, \quad \|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{14} \]
\[ \cos \theta = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \Rightarrow \theta = \cos^{-1} \left( \frac{5}{7} \right) \]

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của đường thẳng đó lên mặt phẳng.

Công thức:

\[ \sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{n}\|} \]

Trong đó:

• \( \vec{u} \): vectơ chỉ phương của đường thẳng
• \( \vec{n} \): vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

Ví dụ 2: Cho đường thẳng \( d \) có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (1, -2, 2) \), và mặt phẳng \( (P): x - y + z = 5 \), hãy tính góc giữa \( d \) và \( (P) \).

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \) là \( \vec{n} = (1, -1, 1) \)

\[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = 1 + 2 + 2 = 5 \]
\[ \|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3, \quad \|\vec{n}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} \]
\[ \sin \theta = \frac{5}{3\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = \sin^{-1} \left( \frac{5}{3\sqrt{3}} \right) \]

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.

Công thức:

\[ \cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\| \cdot \|\vec{n}_2\|} \]

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng: \[ (P): 2x - y + 2z = 1,\quad (Q): x + y - z = 3 \] Tính góc giữa hai mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \).

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến: \[ \vec{n}_1 = (2, -1, 2), \quad \vec{n}_2 = (1, 1, -1) \]

\[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 2 - 1 - 2 = -1 \] \[ \|\vec{n}_1\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3,\quad \|\vec{n}_2\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3} \] \[ \cos \theta = \frac{|-1|}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{3\sqrt{3}} \right) \]

III. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm \( A(x_0, y_0, z_0) \) và mặt phẳng \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ điểm \( M(1,2,3) \) đến mặt phẳng \( 2x - y + 2z - 4 = 0 \)

Lời giải:

\[ d = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 + 6 - 4|}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3} \]

2. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho điểm \( A \) và đường thẳng đi qua \( B \) có vectơ chỉ phương \( \vec{u} \), khoảng cách được tính bằng:

\[ d = \frac{\left\| \vec{AB} \times \vec{u} \right\|}{\|\vec{u}\|} \]

Ví dụ 5: Tính khoảng cách từ điểm \( A(1,0,0) \) đến đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( B(0,0,0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (1,1,1) \)

Lời giải:

\[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-1, 0, 0) \] \[ \vec{AB} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\vec{i} - (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\vec{j} + (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\vec{k} = (0,1,-1) \] \[ \left\| \vec{AB} \times \vec{u} \right\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2},\quad \|\vec{u}\| = \sqrt{3} \] \[ d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

3. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau có vectơ chỉ phương lần lượt là \( \vec{u}_1 \), \( \vec{u}_2 \), và điểm \( A \in d_1 \), \( B \in d_2 \), khi đó:

\[ d = \frac{|(\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) \cdot \vec{AB}|}{\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\|} \]

Ghi chú: Đây là công thức thường dùng nhất trong các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau trong hình học không gian lớp 11.

IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường chéo nhau

• Xác định vectơ chỉ phương
• Sử dụng công thức cosin
• Chú ý kết quả là góc nhọn giữa hai đường

Dạng 2: Tính góc giữa đường và mặt

• Xác định vectơ chỉ phương của đường và pháp tuyến mặt
• Dùng công thức sin

Dạng 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

• Dùng công thức tọa độ
• Chú ý tính giá trị tuyệt đối

Dạng 4: Khoảng cách từ điểm đến đường

• Tính tích có hướng của hai vectơ
• Chia cho độ dài vectơ chỉ phương

Dạng 5: Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

• Dùng tích hỗn tạp
• Xác định đúng các vectơ và điểm đại diện

V. BÀI TẬP VẬN DỤNG CÓ LỜI GIẢI

Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm \( A(1,2,3) \) đến mặt phẳng \( 3x - y + 4z + 2 = 0 \)

Giải:

\[ d = \frac{|3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 4^2}} = \frac{|3 - 2 + 12 + 2|}{\sqrt{9 + 1 + 16}} = \frac{15}{\sqrt{26}} \]

Bài 2: Cho hai đường chéo nhau có chỉ phương \( \vec{u}_1 = (1,0,1), \vec{u}_2 = (0,1,-1) \), \( A(0,0,0), B(1,1,0) \). Tính khoảng cách giữa hai đường

Giải:

\[ \vec{AB} = (1,1,0) \] \[ \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1,-1,1) \] \[ \text{Tích hỗn tạp: } (\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) \cdot \vec{AB} = (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -2 \] \[ d = \frac{|-2|}{\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \]

VI. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Khoảng cách từ điểm \( A(1,2,2) \) đến mặt phẳng \( x + 2y + 2z - 7 = 0 \) là:

A. 1   B. 2   C. 3   D. \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Đáp án: B

Câu 2: Nếu đường thẳng \( d \) có chỉ phương \( \vec{u} = (1,2,-1) \) và mặt phẳng có pháp tuyến \( \vec{n} = (2,4,-2) \), thì góc giữa \( d \) và mặt phẳng là:

A. \( 90^\circ \)   B. \( 0^\circ \)   C. \( 60^\circ \)   D. \( 45^\circ \)

Đáp án: A (vì \( \vec{u} \parallel \vec{n} \) nên vuông góc)

VII. TỔNG HỢP CÔNG THỨC CẦN NHỚ

• Góc giữa hai đường: \[ \cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} \]
• Góc giữa đường và mặt: \[ \sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{n}\|} \]
• Khoảng cách điểm đến mặt: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]
• Khoảng cách điểm đến đường: \[ d = \frac{\left\| \vec{AB} \times \vec{u} \right\|}{\|\vec{u}\|} \]
• Khoảng cách hai đường chéo nhau: \[ d = \frac{|(\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) \cdot \vec{AB}|}{\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\|} \]

VIII. LỜI KẾT & TÀI LIỆU THAM KHẢO

Chuyên đề góc và khoảng cách trong không gian là nội dung nâng cao, yêu cầu học sinh nắm chắc kiến thức hình học, kỹ năng dùng vectơ, và biết vận dụng công thức hợp lý. Qua đó, bạn không chỉ hiểu lý thuyết mà còn nâng cao kỹ năng phân tích đề bài và trình bày bài toán.

📘 Tải ngay tài liệu soạn toán luyện tập nâng cao miễn phí tại: montoan.com.vn

Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao trong môn Toán lớp 11!