Phân Dạng Bài Tập Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 | Tổng Hợp Dạng Bài Và Lời Giải

Phân Dạng Bài Tập Hàm Số Lượng Giác Lớp 11

Trong chương trình Toán lớp 11, phần hàm số lượng giác đóng vai trò rất quan trọng, là tiền đề cho các chuyên đề về đạo hàm và khảo sát hàm số sau này. Việc phân dạng các bài tập hàm số lượng giác giúp học sinh dễ dàng tiếp cận, ôn luyện, và giải bài tập một cách hệ thống và hiệu quả.

>> Xem thêm: Giải bài tập Toán 11

Tổng quan về hàm số lượng giác

Các hàm số lượng giác cơ bản bao gồm:

\( y = \sin x \)
\( y = \cos x \)
\( y = \tan x \)
\( y = \cot x \)

Chúng có chu kỳ tuần hoàn, miền xác định riêng, và tập giá trị cụ thể. Việc nắm vững đồ thị và tính chất từng hàm số là điều bắt buộc trước khi đi vào giải bài tập.

Phân Dạng Bài Tập Hàm Số Lượng Giác Lớp 11 | Tổng Hợp Dạng Bài Và Lời Giải

1. Dạng 1: Xác định tập xác định của hàm lượng giác

Để tìm tập xác định của các hàm số lượng giác, cần tránh các điểm mà hàm số không xác định như:

\( \tan x \) không xác định khi \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
\( \cot x \) không xác định khi \( \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi \)

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số \( y = \tan(2x + \frac{\pi}{4}) \)

Lời giải:

Hàm số xác định khi:

\[ \cos(2x + \frac{\pi}{4}) \ne 0 \Rightarrow 2x + \frac{\pi}{4} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \]

Vậy tập xác định là: \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \)

2. Dạng 2: Tìm chu kỳ, tập giá trị của hàm số lượng giác

Với dạng tổng quát: \( y = a\sin(bx + c) + d \), các thông số đặc trưng là:

Biên độ: \( |a| \)
Chu kỳ: \( T = \frac{2\pi}{|b|} \)
Pha: \( -\frac{c}{b} \)
Giá trị lớn nhất: \( a + d \), nhỏ nhất: \( -a + d \)

Ví dụ: Xét hàm số \( y = 3\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 1 \)

Giải:

Biên độ: \( 3 \)
Chu kỳ: \( T = \frac{2\pi}{2} = \pi \)
Tập giá trị: \( y \in [-2, 4] \)

3. Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số lượng giác

Các bước cơ bản:

Xác định chu kỳ
Tính các điểm đặc biệt trong một chu kỳ
Biến đổi đồ thị nếu có tịnh tiến hoặc thay đổi hệ số

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số \( y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) \)

Giải thích:

Chu kỳ: \( 2\pi \)
Dịch chuyển pha: \( +\frac{\pi}{4} \) (tịnh tiến sang phải)
Biên độ: \( 2 \)

Sau khi tính toán điểm đặc biệt và vẽ, ta có thể biểu diễn đồ thị bằng các điểm cực trị và nút giao trục hoành.

4. Dạng 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Các phương trình lượng giác cơ bản thường có dạng:

\( \sin x = a \)
\( \cos x = a \)
\( \tan x = a \)
\( \cot x = a \)

Trong đó \( a \in [-1,1] \) đối với \( \sin x \) và \( \cos x \), còn với \( \tan x, \cot x \) thì \( a \in \mathbb{R} \).

Cách giải:

Với \( \sin x = a \): \( x = \arcsin a + k2\pi \) hoặc \( x = \pi - \arcsin a + k2\pi \)
Với \( \cos x = a \): \( x = \pm \arccos a + k2\pi \)
Với \( \tan x = a \): \( x = \arctan a + k\pi \)

Ví dụ: Giải phương trình \( \cos x = \frac{1}{2} \)

Lời giải:

\[ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + k2\pi = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \]

5. Dạng 5: Biến đổi biểu thức lượng giác

Dạng này yêu cầu áp dụng các công thức lượng giác cơ bản như:

\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
\( 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \)
\( \sin 2x = 2\sin x \cos x \)
\( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \)

Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

\[ A = \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} \]

Lời giải:

Sử dụng công thức \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \), ta có:

\[ A = \frac{1 - (1 - 2\sin^2 x)}{2\sin x \cos x} = \frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \]

6. Dạng 6: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Đây là dạng bài giúp luyện kỹ năng biến đổi, thường yêu cầu học sinh:

Rút gọn hai vế về cùng một biểu thức
Chuyển vế phức tạp về vế đơn giản hơn
Áp dụng hằng đẳng thức lượng giác, đổi biến phụ nếu cần

Ví dụ: Chứng minh:

\[ \frac{1 + \tan^2 x}{1 - \tan^2 x} = \frac{1}{\cos 2x} \]

Gợi ý: Sử dụng \( \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \) và \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \)

Hoặc chuyển vế trái thành biểu thức có dạng \( \frac{1 + \tan^2 x}{1 - \tan^2 x} = \frac{1/\cos^2 x}{\cos 2x} \Rightarrow \frac{1}{\cos 2x} \)

7. Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức lượng giác

Dạng này thường yêu cầu sử dụng bất đẳng thức cơ bản, đặc biệt là dùng kỹ thuật đổi biến:

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:

\[ A = 3\sin x + 4\cos x \]

Giải: Đặt:

\[ A = R\sin(x + \alpha), \text{ trong đó } R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]

Vậy:

\[ A = 5\sin(x + \alpha) \Rightarrow -5 \le A \le 5 \]

Suy ra: GTLN là \( 5 \), GTNN là \( -5 \)

8. Dạng 8: Ứng dụng vào bài toán thực tế

Các bài toán ứng dụng lượng giác vào thực tế có thể liên quan đến chuyển động tròn đều, dao động điều hòa, ánh sáng, cơ học, v.v. Cần thiết lập mô hình lượng giác dựa trên dữ kiện đề bài.

Ví dụ: Một vật dao động theo phương trình:

\[ x(t) = 5\cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{6}\right) \]

Tìm biên độ, chu kỳ và pha ban đầu.

Giải:

Biên độ: \( 5 \)
Chu kỳ: \( T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \)
Pha ban đầu: \( \frac{\pi}{6} \)

Tổng kết các dạng bài tập hàm số lượng giác lớp 11

STT	Dạng bài	Kỹ năng cần có
1	Xác định tập xác định	Phân tích miền xác định của hàm lượng giác
2	Tính chu kỳ, tập giá trị	Biến đổi hàm, xác định chu kỳ, biên độ
3	Vẽ đồ thị hàm số	Xác định điểm đặc biệt, dịch chuyển đồ thị
4	Giải phương trình lượng giác	Sử dụng công thức nghiệm cơ bản
5	Rút gọn biểu thức	Áp dụng công thức hằng đẳng thức
6	Chứng minh đẳng thức	Biến đổi vế phức tạp, sử dụng công thức
7	Tìm GTLN, GTNN	Áp dụng biến đổi lượng giác, đạo hàm
8	Ứng dụng thực tế	Lập mô hình lượng giác từ đề bài

Bài tập vận dụng có lời giải

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số \( y = \tan(3x - \frac{\pi}{6}) \)

Lời giải:

Hàm số xác định khi \( \cos(3x - \frac{\pi}{6}) \ne 0 \)

\[ \Rightarrow 3x - \frac{\pi}{6} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow 3x \ne \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + k\pi = \frac{2\pi}{3} + k\pi \Rightarrow x \ne \frac{2\pi}{9} + \frac{k\pi}{3} \]

Vậy tập xác định là: \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{2\pi}{9} + \frac{k\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \)

Bài 2: Giải phương trình lượng giác \( \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Lời giải:

\[ \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \text{ hoặc } 2x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \]

\[ \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi \text{ hoặc } x = \frac{\pi}{3} + k\pi \]

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2\sin x - 3\cos x \)

Lời giải:

Ta có thể viết lại theo công thức tổ hợp lượng giác:

\[ A = R\sin(x + \alpha), \text{ trong đó } R = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \]

Vậy:

\[ -\sqrt{13} \le A \le \sqrt{13} \]

Kết luận: \( \min A = -\sqrt{13}, \max A = \sqrt{13} \)

Câu hỏi trắc nghiệm tự luyện

Câu 1: Hàm số \( y = \cot x \) xác định khi nào?

A. \( x \ne k\frac{\pi}{2} \)
B. \( x \ne k\pi \)
C. \( x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \)
D. \( x \in \mathbb{R} \)

Đáp án: B

Câu 2: Chu kỳ của hàm số \( y = \sin(5x) \) là:

A. \( 2\pi \)
B. \( \pi \)
C. \( \frac{2\pi}{5} \)
D. \( \frac{\pi}{5} \)

Đáp án: C

Câu 3: Tập giá trị của hàm số \( y = 3\cos x + 2 \) là:

A. \( [-1, 1] \)
B. \( [-3, 3] \)
C. \( [-1, 5] \)
D. \( [-1, 1] + 2 \)

Đáp án: D (Tập giá trị là \( [-3, 3] + 2 = [-1, 5] \))

Câu 4: Phương trình \( \tan x = 0 \) có nghiệm là:

A. \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
B. \( x = k\pi \)
C. \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)
D. \( x = k2\pi \)

Đáp án: B

Câu 5: Biểu thức \( \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} \) rút gọn là:

A. \( \tan x \)
B. \( \cot x \)
C. \( \sin x \)
D. \( \cos x \)

Đáp án: A

Kết luận: Học tốt hàm số lượng giác – nền tảng cho Toán giải tích

Phân dạng bài tập hàm số lượng giác lớp 11 là một chiến lược học tập thông minh và khoa học. Bằng cách chia nhỏ thành từng dạng, học sinh dễ dàng ghi nhớ công thức, nắm bắt phương pháp giải nhanh chóng, từ đó nâng cao điểm số trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng như thi học kỳ, thi THPT.

Để học hiệu quả:

Thường xuyên học toán luyện tập theo từng dạng, bắt đầu từ cơ bản đến nâng cao.
Sử dụng bảng phân dạng và công thức tổng hợp để ôn tập nhanh.
Chú trọng vào phần đồ thị và ứng dụng thực tế – phần có nhiều điểm vận dụng cao.

Hy vọng bài viết này sẽ trở thành tài liệu đồng hành hiệu quả với bạn trong hành trình chinh phục môn Toán lớp 11 nói riêng và các kỳ thi học thuật nói chung.