Dạng toán dãy số – cấp số cộng – cấp số nhân lớp 11: lý thuyết & bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Dạng toán dãy số – cấp số cộng – cấp số nhân lớp 11: Hướng dẫn từ A → Z

Vì sao dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân lại quan trọng?

Dãy số là “xương sống” của đại số hiện đại. Hầu hết chuyên đề giới hạn, đạo hàm, tích phân, xác suất… đều thấp thoáng bóng dáng dãy số. Trong chương trình Toán lớp 11, hai dạng dãy số đặc biệt – cấp số cộng (CSC) và cấp số nhân (CSN) – đóng vai trò cầu nối giúp học sinh làm quen khái niệm quy nạp, quy luật biến thiên và các kỹ thuật tính tổng. Nắm chắc chuyên đề này đồng nghĩa với việc bạn đã đặt viên gạch đầu tiên cho hình học giải tích và giải tích 12.

>> Xem thêm: Bài tập toán lớp 11.

Bài viết dưới đây sẽ đi theo thứ tự từ cơ bản 👉 nâng cao, kết hợp lý thuyết – ví dụ – bài tập – lời giải, xen kẽ tips học nhanh và cảnh báo lỗi sai “kinh điển”. Độc giả có thể đọc từ đầu đến cuối hoặc chọn mục lục để “nhảy” nhanh tới phần mình cần.

1. Tổng quan dãy số lớp 11

1.1. Khái niệm dãy số

Một dãy số \(\{u_n\}\) là hàm số từ \(\mathbb{N}\) vào \(\mathbb{R}\) (hoặc \(\mathbb{C}\)). Nói nôm na, bạn “gắn” cho từng \( n = 1, 2, 3, \dots \) và mỗi \( n \) ứng với một giá trị \( u_n \). Chúng ta thường viết:

\( u_1,\; u_2,\; u_3,\; \dots,\; u_n,\; \dots \)

1.2. Phân loại dãy số trong chương trình THPT

Trong khuôn khổ bài, ta chỉ zoom vào cấp số cộng và cấp số nhân, tuy nhiên mọi kỹ thuật trình bày đều có thể “giao thoa” qua dãy quy nạp cao cấp hơn.

2. Cấp số cộng (Arithmetic Progression – AP)

2.1. Định nghĩa

Một dãy \( (u_n) \) gọi là cấp số cộng nếu tồn tại hằng số d (công sai) sao cho:

\( u_{n+1} = u_n + d,\; \forall n \ge 1 \).

2.2. Công thức số hạng tổng quát

Cho \( u_1 \) là số hạng đầu, ta có:

\( u_n = u_1 + (n-1)d. \tag{1} \)

2.3. Công thức tính tổng SnS_nSn​

Tổng nnn số hạng đầu tiên:

\( S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) = \frac{n}{2}\bigl[2u_1 + (n-1)d\bigr]. \tag{2} \)

2.4. Tính chất nhanh cần nhớ

1. Trung bình cộng 2 phần tử đối xứng = phần tử chính giữa:
   \( u_k + u_{\,n-k+1} = u_{\,n+1} \)​.

2. Nếu \( d > 0 \) ⇒ dãy tăng; \( d < 0 \) ⇒ dãy giảm.

3. Cấp số nhân (Geometric Progression – GP)

3.1. Định nghĩa

Một dãy \((v_n)\) gọi là cấp số nhân nếu tồn tại hằng số \( q \neq 0 \) (công bội) sao cho:

\( v_{n+1} = v_n \cdot q,\; \forall n \ge 1 \)

3.2. Công thức số hạng tổng quát

Cho \( v_1 \)​ là số hạng đầu, ta có:

( v_n = v_1 , q^{,n-1}. \tag{3} )

3.3. Công thức tính tổng SnS_nSn​

• Nếu \( q \neq 1 \):

  \( S_n = v_1 \,\frac{q^{\,n}-1}{q-1}. \tag{4} \)

• Nếu \( \lvert q \rvert < 1 \) và \( n \to \infty \):
  Tổng vô hạn

  \( S_\infty = \frac{v_1}{1 - q}. \tag{5} \)

3.4. Tính chất nhanh cần nhớ

1. Trung bình nhân của 2 phần tử đối xứng = phần tử chính giữa:
   \( v_k \cdot v_{\,n-k+1} = v_{\,n+1} \)​.

2. Nếu \( q > 1 \) ⇒ dãy tăng (khi \( v_1 > 0 \)); \( 0 < q < 1 \) ⇒ dãy giảm.

4. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: Xác định ddd hoặc qqq từ hai số hạng tùy ý

Ví dụ 1
Biết CSC có \( u_3 = 8 \), \( u_{10} = 29 \). Tính \( d,\; u_1 \)​.

Giải phác thảo (đầy đủ đăng web):

\( u_{10} = u_1 + 9d,\; u_3 = u_1 + 2d \Rightarrow 29 - 8 = 7d \Rightarrow d = 3,\; u_1 = 8 - 2\cdot 3 = 2. \).

Dạng 2: Tìm số hạng thỏa mãn điều kiện “giao cắt”

Ví dụ 2
\( v_1 = 2,\; q = 3 \). Tìm \( n \) để \( v_n > 1000 \)..

\( 2 \cdot 3^{\,n-1} > 1000 \;\Rightarrow\; 3^{\,n-1} > 500 \;\Rightarrow\; n-1 > \log_{3} 500 \approx 5{.}6 \;\Rightarrow\; n \ge 7 \).

Dạng 3: Tính tổng nhanh CSC/CSN

Ví dụ 3
Tính \( S = 5 + 8 + 11 + \dots + 125 \).

Phương pháp: xác định \( u_1 = 5,\; d = 3,\; u_n = 125 \;\Rightarrow\; n = ? \). Tính \(n\), áp dụng (2) ⇒ kết quả.

Dạng 4: Bài toán lồng ghép

Bài yêu cầu “CSC – CSN đồng thời” hoặc cần áp dụng quy nạp để chứng minh.

Ví dụ 4 (nâng cao)
Chứng minh \( \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{\,k-1} = (n-1) 2^{\,n} + 1 \) (học sinh khá – giỏi).

Gợi ý: quy nạp + khai thác CSN.

5. Kỹ thuật tính nhanh tổng CSC & CSN (TIPs)

1. Bộ đôi Gauss: Nếu CSC bắt đầu bằng 1 và \( d = 1,\; \text{tổng từ } 1 \to n = \frac{n(n+1)}{2} \).

2. Tách ghép thông minh: Tổng hữu hạn CSN có thể tách thành hiệu hai CSN anh–em (hệ thức (4)).

3. Thủ thuật “đẩy – kéo”: Với CSC trùng lặp, thêm bớt số hạng để đưa về công thức Gauss.

6. Dạng bài nâng cao

6.1. Bất đẳng thức & cực trị

Áp dụng AM–GM trên ba số hạng liên tiếp của CSC:
\( u_{n-1},\; u_n,\; u_{n+1} \)​. Chứng minh điều thú vị:

\( u_n^2 \ge u_{n-1}\,u_{n+1} \)​.

6.2. Quy nạp tìm công thức

Dãy \( a_{n+1} = 2a_n + 3^n \). Tách “phần không đồng nhất” bằng cách xét \( b_n = a_n - 3^{\,n} \). Khi đó \( b_{n+1} = 2\,b_n \) ⇒ CSN.

7. FAST CHECK – 10 câu trắc nghiệm

#	Câu hỏi	A	B	C	D
1	Số hạng thứ 50 của cấp số cộng (CSC) có \( u_1 = 7,\; d = 2 \) là bao nhiêu?	95	99	105	107
2	Với cấp số nhân (CSN) có \( v_1 = 64,\; q = \tfrac12 \)​. Tổng vô hạn \( S_\infty \)​ bằng?	64	128	32	256
3	Một CSC có \( u_5 = 18,\; u_{11} = 42 \). Công sai \( d \) bằng?	3	4	5	6
4	Trong CSC ở câu 3, số hạng đầu \( u_1 \)​ bằng?	2	4	-2	6
5	CSN có \( v_3 = 81,\; v_6 = 6561 \). Công bội \( q \) bằng?	2	8	3	9
6	Vẫn CSN ở câu 5, tổng năm số hạng đầu \( S_5 \) bằng?	984	1215	1092	1458
7	Cho CSC tăng đều có \( u_1 = -5,\; u_n = 55 \). Nếu \( d = 3 \), giá trị \( n \) là?	18	21	22	24
8	Trong CSN \( v_1 = 3,\; q = 2 \). Tìm nnn nhỏ nhất sao cho \( v_n > 10\,000 \).	10	11	12	13
9	Tổng 20 số hạng đầu CSC \( u_1 = 4,\; d = 6 \) là?	1180	1240	1300	1360
10	Cho dãy \( a_n \) là CSN với \( a_1 = 5,\; q < 1 \). Biết \( S_\infty = 20 \). Công bội \( q \) bằng?	\( 14\tfrac{14}{41} \)	\( 35\tfrac{35}{53} \)	\( 34\tfrac{34}{43} \)	\( 45 \tfrac{45}{54} \)

Đáp án nhanh

1. C 2. B 3. B 4. C 5. C 6. B 7. B 8. C 9. B 10. C

8. 10 lỗi sai kinh điển

#	Lỗi thường gặp	Cách tránh / Khắc phục
1	Nhầm thứ tự n – 1 và n khi áp dụng công thức số hạng \( u_n = u_1 + (n-1)d \) hoặc \( v_n = v_1 q^{\,n-1} \).	Ghi rõ hai công thức “then chốt” lên giấy nhớ và luôn kiểm tra chỉ số trước khi thế số.
2	Đặt \( q = 1 \) vẫn dùng công thức tổng CSN hữu hạn \( S_n = v_1 \frac{q^{\,n} - 1}{q - 1} \) ⇒ mẫu số bằng 0.	Trước khi áp dụng công thức (4) hãy soát nhanh \( q \neq 1 \); nếu \( q = 1 \) thì \( S_n = n \cdot v_1 \)​.
3	Nhầm lẫn giữa hoán vị và chỉnh hợp khi xếp thứ tự dãy số (đặc biệt ở bài liên quan vị trí ghế ngồi).	Tóm tắt đề: nếu thứ tự quan trọng ⇒ hoán vị/chỉnh hợp; nếu chỉ chọn ⇒ tổ hợp.
4	Quên điều kiện không chia được cho 0 khi rút gọn tỷ số \( \frac{u_{n+1} - u_n}{u_n - u_{n-1}} \)​​.	Kiểm tra mẫu khác 0 trước khi biến đổi; nếu mẫu = 0 cần xử lý riêng.
5	Suy luận “CSC tăng” ⇔ \( d>0 \) mà bỏ quên trường hợp \( d = 0 \) (dãy hằng).	Luôn xét đủ ba khả năng \( d > 0,\; d = 0,\; d < 0 \).
6	Thay nhầm d vào bài CSN hoặc q vào bài CSC khi làm đề trắc nghiệm gộp hai phần.	Dùng ký hiệu nhất quán: \( d \leftrightarrow \text{CSC}, \quad q \leftrightarrow \text{CSN} \); đánh dấu màu khác trong nháp.
7	Quá tin máy tính cầm tay: bấm tổng CSC dài bằng chức năng Σ nhưng sai cận.	Viết nhanh biểu thức tổng ra giấy, xác định n trước rồi mới bấm máy.
8	Quên điều kiện \( \lvert q \rvert < 1 \) khi tính tổng vô hạnCSN: \( S_\infty = \frac{v_1}{1 - q} \)	Gạch chân điều kiện \( \lvert q \rvert < 1 \) ngay dưới công thức trong sổ tay công thức cá nhân hoặc tờ nháp để luôn nhớ kiểm tra trước khi áp dụng.
9	Khi chứng minh bằng quy nạp, bỏ sót bước khởi đầu hoặc không liên kết được \( P(k) \to P(k+1) \)	Lập dàn ý hai bước rõ ràng: (i) Kiểm tra \( n=1 \); (ii) Giả sử đúng với \( n=k \) ⇒ chứng minh \( n = k + 1 \).
10	Nhầm dấu ± khi rút căn \( q = \sqrt{\dfrac{v_{n+2}}{v_n}} \)dẫn tới bỏ mất nghiệm âm hoặc nghiệm dương.	Sau khi rút căn, viết rõ “\( q > 0 \) hay \( q < 0 \)” tùy đề; xét từng trường hợp tách biệt.

9. Lộ trình 4 tuần “gói gọn” chuyên đề

10. FAQ

Hỏi	Đáp
1. Có nên học thuộc lòng toàn bộ công thức?	Không cần. Bạn chỉ cần nắm vững 4 công thức lõi: (1) \( u_n = u_1 + (n-1)d \) (2) \( S_n = \frac{n}{2}\bigl[2u_1 + (n-1)d\bigr] \) (3) \( v_n = v_1 \, q^{\,n-1} \) (4) \( S_n = v_1 \frac{q^{\,n}-1}{q-1} \) (với \( q \neq 1 \)). Mọi công thức khác đều suy ra trực tiếp từ bốn công thức này.
2. Khi nào nên dùng “công thức tính nhanh” thay vì tính tay?	Với trắc nghiệm (đặc biệt tổng CSC/CSN có ≥ 50 số hạng) hãy ưu tiên công thức để tiết kiệm thời gian. Với tự luận, vẫn cần trình bày đủ bước suy luận để được trọn vẹn điểm số.
3. Làm sao phân biệt nhanh CSC và CSN khi đọc đề?	Kiểm tra mối quan hệ giữa hai số hạng liền kề: • Nếu hiệu \( u_{n+1} - u_n \) không đổi ⇒ CSC. • Nếu tỉ số \( \frac{v_{n+1}}{v_n} \) không đổi ⇒ CSN.
4. Có mẹo tránh nhầm lẫn chỉ số \( n-1 \) và \( n \) không?	Luôn phác thảo bảng nhỏ: ghi nnn dọc, ghi unu_nun​ hoặc \( v_n \)​ ngang. Gạch chân “số hạng đầu” và “số hạng cần tìm” trước khi thế số vào công thức.
5. Khi \( q=1 \) thì tổng CSN tính thế nào?	Lúc đó dãy không còn nhân mà trở thành dãy hằng số; tổng nnn số hạng đơn giản là \( S_n = n \cdot v_1 \)​.
6. Tổng vô hạn CSN có điều kiện gì đặc biệt?	Phải \( \lvert q \rvert < 1 \); khi đó dãy hội tụ và \( S_\infty = \frac{v_1}{1 - q} \)​​. Nếu \( \lvert q \rvert \ge 1 \), tổng vô hạn không hội tụ.
7. Có cần máy tính cầm tay cho mọi bài CSC/CSN?	Không. Hãy rèn thói quen tính nhẩm công sai \( d \) và công bội \( q\). Máy tính chỉ nên dùng để xử lý lũy thừa lớn hoặc kiểm tra đáp án cuối.
8. Quy nạp toán học áp dụng vào CSC/CSN thế nào?	Thường dùng để chứng minh các công thức tổng hoặc bất đẳng thức liên quan. Luôn thực hiện đủ hai bước: kiểm tra cơ sở \( n=1 \) và giả thiết quy nạp \( n=k \) ⇒ kết quả \( n=k+1 \).
9. Cách xử lý bài “lồng ghép” CSC & CSN trong cùng đề?	Tách riêng từng dãy: ký hiệu khác nhau (chẳng hạn dùng unu_nun​ cho CSC, vnv_nvn​ cho CSN). Giải từng phần, rồi ghép kết quả bằng điều kiện chung của đề.
10. Học bao lâu thì đủ vững chuyên đề này?	Nếu theo lộ trình 4 tuần: • Tuần 1–2: lý thuyết + bài cơ bản. • Tuần 3: bài tổng hợp & quy nạp. • Tuần 4: giải đề minh họa. Cộng thêm 30 phút ôn tập/ngày thì sau một tháng, bạn đã đủ tự tin đạt ≥ 8 điểm cho phần dãy số – CSC – CSN.

Mẹo nhỏ: In bảng FAQ này, dán cạnh bàn học – mỗi lần vướng mắc bạn chỉ cần liếc qua là có ngay đáp án!

Chuyên đề toán học dãy số – cấp số cộng – cấp số nhân lớp 11 không hề “khó nuốt” nếu bạn nắm chắc công thức lõi, rèn đều các dạng bài và thường xuyên tự kiểm bằng câu hỏi trắc nghiệm nhanh. Hãy áp dụng lộ trình 4 tuần, kết hợp flashcard công thức + mind map quy trình giải, bạn sẽ ngạc nhiên vì tốc độ tiến bộ của mình. Chúc bạn học tốt và sớm “vượt ngưỡng” để chạm mốc điểm 9+ trong mọi đề kiểm tra!