Phân Dạng Bài Toán Hình Học Không Gian Lớp 11 Hay Gặp | Tổng Hợp Công Thức Và Bài Tập

Phân Dạng Bài Toán Hình Học Không Gian Lớp 11 Hay Gặp

Chương trình Hình học không gian lớp 11 là một phần quan trọng của môn Toán, rèn luyện khả năng tưởng tượng hình học trong không gian ba chiều và là nền tảng cho phần hình học lớp 12. Để học tốt chương này, học sinh cần nắm chắc lý thuyết và các dạng bài tập cơ bản hay gặp trong đề thi.

Xem thêm: Sách bài tập Toán 11.

I. Tổng quan về kiến thức hình học không gian lớp 11

• Vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học: điểm, đường, mặt phẳng
• Quan hệ song song, vuông góc giữa đường – mặt – đường
• Tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng
• Tính khoảng cách từ điểm đến mặt, từ điểm đến đường, giữa hai đường chéo nhau
• Thể tích các hình khối trong không gian: hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ

II. Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp:

• Xác định hai mặt phẳng theo hình học hoặc tọa độ
• Tìm điểm chung và đường chung
• Lập phương trình giao tuyến (nếu là hình học tọa độ)

Ví dụ: Trong hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình vuông, \( SA \perp (ABCD) \). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SAC) \) và \( (SBD) \)

Lời giải:

Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng đi qua giao điểm \( O \) của AC và BD, và đỉnh \( S \). Vậy giao tuyến là đường thẳng \( SO \), trong đó \( O = AC \cap BD \).

III. Dạng 2: Chứng minh các quan hệ song song

Chiến lược:

• Dựa vào định nghĩa: hai đường thẳng song song nếu đồng phẳng và không cắt nhau
• Dùng định lý “hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường cắt nhau thì chúng song song”
• Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng nếu nó song song với hai đường cắt nhau thuộc mặt

Ví dụ: Trong hình chóp tứ giác đều \( S.ABCD \), chứng minh đường \( SO \parallel AB \) (với \( O \) là tâm đáy)

Lời giải:

• Do đáy là hình vuông nên \( O \) là giao điểm AC và BD
• \( SO \) là đường cao
• \( AB \) nằm trong đáy
• Do \( SA \perp AB \) và \( SO \perp AB \Rightarrow SO \parallel AB \)

IV. Dạng 3: Chứng minh các quan hệ vuông góc

Phương pháp: Sử dụng các định lý vuông góc sau:

• Đường vuông góc với hai đường cắt nhau trong mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng
• Một đường thẳng vuông góc với hai đường cắt nhau của mặt thì vuông góc với mặt

Ví dụ: Trong hình chóp tam giác đều \( S.ABC \), chứng minh \( SA \perp (ABC) \)

Lời giải:

Vì là hình chóp tam giác đều nên cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Vậy \( SA \perp (ABC) \)

V. Dạng 4: Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp: Góc giữa hai đường chéo nhau là góc giữa hai vectơ chỉ phương đặt gốc chung và có giá song song với hai đường đó.

\[ \cos \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} \]

Ví dụ: Cho hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \), tìm góc giữa \( AC' \) và \( BD \)

Lời giải: Tìm vectơ chỉ phương của hai đường, sử dụng định nghĩa cosin góc giữa hai vectơ, áp dụng công thức trên để tính được góc.

VI. Dạng 5: Tính khoảng cách

Trong không gian, khoảng cách là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất nối giữa hai yếu tố hình học (điểm – mặt, điểm – đường, hai đường chéo nhau...).

1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm \( A \) và mặt phẳng \( (P) \), nếu \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên \( (P) \), thì:

\[ d(A, (P)) = AH \]

2. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Được tính khi ta biết tọa độ điểm và phương trình đường thẳng, dùng công thức trong hình học tọa độ:

\[ d(M, d) = \frac{\left\| \vec{AM} \times \vec{u} \right\|}{\|\vec{u}\|} \]

Với \( \vec{u} \) là vectơ chỉ phương của đường \( d \), \( A \) là điểm thuộc \( d \)

3. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Dùng công thức:

\[ d = \frac{|(\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) \cdot \vec{AB}|}{\| \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 \|} \]

Với \( \vec{u}_1, \vec{u}_2 \) là vectơ chỉ phương của hai đường, \( A \in d_1, B \in d_2 \)

VII. Dạng 6: Tính thể tích hình chóp và hình lăng trụ

1. Thể tích hình chóp:

Công thức chung:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h \]

Trong đó:

• \( S_{\text{đáy}} \): Diện tích đáy
• \( h \): Chiều cao từ đỉnh đến đáy

Ví dụ:

Cho hình chóp \( S.ABC \) có đáy là tam giác vuông tại A, cạnh AB = 3, AC = 4. SA vuông góc với đáy và SA = 6. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Diện tích đáy:

\[ S_{\text{đáy}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \]

Chiều cao: SA = 6

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 = 12 \]

2. Thể tích hình lăng trụ:

\[ V = S_{\text{đáy}} \cdot h \]

Ví dụ lăng trụ tam giác có đáy diện tích 10 cm² và chiều cao 8 cm, thì:

\[ V = 10 \cdot 8 = 80 \, \text{cm}^3 \]

VIII. Bài tập vận dụng có lời giải

Bài 1: Trong hình chóp \( S.ABCD \), đáy là hình vuông cạnh 2a, \( SA \perp (ABCD) \), SA = a. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

• Diện tích đáy \( S_{\text{đáy}} = (2a)^2 = 4a^2 \)
• Chiều cao: SA = a

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 4a^2 \cdot a = \frac{4}{3}a^3 \]

Bài 2: Trong hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \), tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau \( AC \) và \( B'D' \)

Gợi ý: Dùng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo nhau, xác định tọa độ các điểm, lập phương trình hai đường và áp dụng định thức hỗn tạp.

IX. Câu hỏi trắc nghiệm củng cố

Câu 1: Thể tích hình chóp có diện tích đáy 9 cm² và chiều cao 6 cm là:

A. 54 cm³   B. 18 cm³   C. 27 cm³   D. 36 cm³

Đáp án: C

Câu 2: Hai mặt phẳng cắt nhau luôn cắt nhau theo:

A. Một điểm   B. Một đường thẳng   C. Một đoạn thẳng   D. Một mặt phẳng

Đáp án: B

Câu 3: Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau là:

A. Không đồng phẳng và không cắt nhau   B. Cắt nhau tại một điểm   C. Song song   D. Vuông góc

Đáp án: A

X. Tổng kết chuyên đề hình học không gian lớp 11

Chuyên đề hình học không gian lớp 11 gồm nhiều dạng bài tập thực tế, gắn liền với tư duy không gian và khả năng hình dung ba chiều. Để học tốt chương này, học sinh cần nắm chắc:

• Lý thuyết về vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học
• Quan hệ song song, vuông góc, góc và khoảng cách trong không gian
• Các công thức tính thể tích và diện tích liên quan
• Phân tích đề bài và vẽ hình chính xác

Việc luyện tập theo từng dạng giúp học sinh phát triển kỹ năng giải bài và tăng tốc độ làm bài trong các kỳ thi.

XI. Hệ thống công thức cần nhớ

1. Góc trong không gian

Góc giữa hai vectơ:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} \]

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

\[ \sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{n}\|} \]

2. Khoảng cách

Điểm đến mặt phẳng:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Hai đường chéo nhau:

\[ d = \frac{|(\vec{u}_1 \times \vec{u}_2) \cdot \vec{AB}|}{\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\|} \]

3. Thể tích

Hình chóp:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h \]

Hình lăng trụ:

\[ V = S_{\text{đáy}} \cdot h \]

Lời kết & Tải tài liệu học tập miễn phí

Tài liệu toán hình học không gian lớp 11 không chỉ là một phần kiến thức cần thiết mà còn giúp bạn rèn luyện tư duy trừu tượng – kỹ năng quan trọng trong học tập và cuộc sống. Hãy học theo từng dạng bài, hệ thống hóa kiến thức và luyện đề đều đặn.

👉 Tải ngay bộ tài liệu đầy đủ: montoan.com.vn – Website luyện thi Toán chất lượng cao

Chúc bạn học tốt và chinh phục điểm cao trong môn Toán!