tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Bài viết này hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm điều kiện để hàm số có cực trị trong chương trình Giải tích 12, cung cấp kiến thức nền tảng, phương pháp chung và các bài tập minh họa.

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Định lý 1 (Dấu hiệu I): Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên một lân cận của điểm \({x_0}\) (có thể trừ tại \({x_0}\)).

• Nếu \(f'(x) /> 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0} – \delta ,{x_0}} \right)\) và \(f'(x) < 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0},{x_0} + \delta } \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).
• Nếu \(f'(x) < 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0} – \delta ,{x_0}} \right)\) và \(f'(x) /> 0\) trên khoảng \(\left( {{x_0},{x_0} + \delta } \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).

Định lý 2 (Dấu hiệu II): Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại \({x_0}\) và \(f’\left( {{x_0}} \right) = 0\), \(f”\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) thì \({x_0}\) là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa:

• Nếu \(f”\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_0}\).
• Nếu \(f”\left( {{x_0}} \right) /> 0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\).

2. PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để giải các bài toán về điều kiện có cực trị của hàm số \(y = f(x)\), thực hiện theo các bước sau:

1. Bước 1: Xác định miền xác định \(D\) của hàm số.
2. Bước 2: Tính đạo hàm \(y’\).
3. Bước 3: Lựa chọn phương pháp:
   • Hướng 1: Nếu xét được dấu của \(y’\), sử dụng Dấu hiệu I. Hàm số có \(k\) cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(y’ = 0\) có \(k\) nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó.
   • Hướng 2: Nếu không xét được dấu của \(y’\) hoặc bài toán yêu cầu cụ thể về cực đại hoặc cực tiểu, sử dụng Dấu hiệu II bằng cách tính thêm \(y”\).
     • Hàm số có cực trị \( \Leftrightarrow \) Hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y’ = 0}\\{y” \ne 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm thuộc \(D\).
     • Hàm số có cực tiểu \( \Leftrightarrow \) Hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y’ = 0}\\{y” /> 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm thuộc \(D\).
     • Hàm số có cực đại \( \Leftrightarrow \) Hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y’ = 0}\\{y” < 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm thuộc \(D\).
     • Hàm số đạt cực tiểu tại \({x_0}\) khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_0 \in D}\\{x_0 \text{ là điểm tới hạn}}\\{y”\left( {{x_0}} \right) /> 0}\end{array}} \right.\).
     • Hàm số đạt cực đại tại \({x_0}\) khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_0 \in D}\\{x_0 \text{ là điểm tới hạn}}\\{y”\left( {{x_0}} \right) < 0}\end{array}} \right.\).

(Điểm tới hạn: tại đó \(f’\left( {{x_0}} \right)\) không xác định hoặc bằng 0).

3. BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

Bài viết cung cấp 18 bài tập minh họa với các mức độ khó khác nhau, bao gồm cả bài tập tự luận và trắc nghiệm, giúp người học rèn luyện kỹ năng và áp dụng kiến thức đã học. Các bài tập bao gồm việc chứng minh hàm số có cực đại, cực tiểu, tìm điều kiện để hàm số có cực trị, và xác định giá trị của tham số để thỏa mãn các điều kiện cho trước.

Đánh giá và nhận xét:

Bài viết trình bày rõ ràng, mạch lạc các kiến thức lý thuyết và phương pháp giải bài toán tìm điều kiện để hàm số có cực trị. Việc cung cấp các bài tập minh họa đa dạng giúp người học hiểu sâu hơn về các khái niệm và kỹ năng cần thiết. Tuy nhiên, bài viết có thể được cải thiện bằng cách:

• Thêm các ví dụ cụ thể hơn cho từng bước trong phương pháp chung.
• Giải thích chi tiết hơn về cách lựa chọn phương pháp phù hợp cho từng bài toán.
• Cung cấp thêm các bài tập có tính ứng dụng cao trong thực tế.

Nhìn chung, đây là một tài liệu hữu ích cho học sinh lớp 12 và những người tự học môn Giải tích.