tuyển chọn các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học

Tài liệu là một nguồn tài liệu tham khảo giá trị, được biên soạn công phu với 102 trang, tập trung vào các bài toán bất đẳng thức và cực trị hình học. Đây là một tuyển tập các bài toán hay và có độ khó cao, đi kèm với đáp án và lời giải chi tiết. Tài liệu được thiết kế để hỗ trợ học sinh trong quá trình ôn luyện, đặc biệt hữu ích cho việc chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán và các kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp THCS.

I. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác:
• Định lí 1: Nếu hai góc của một tam giác bằng nhau thì cạnh đối diện hai góc đó bằng nhau và ngược lại.
• Định lí 2: Khi hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau và góc xen giữa hai cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó bằng nhau. Từ đó suy ra bất đẳng thức về các cạnh còn lại.
• Định lí 3: (Nội dung định lý bị thiếu trong bản gốc)
• Định lí 4: (Nội dung định lý bị thiếu trong bản gốc)
• Hệ quả: Bất đẳng thức đa giác: Tổng độ dài các cạnh của một đa giác luôn lớn hơn chu vi của một đường thẳng nối hai đỉnh bất kỳ của đa giác đó. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các đỉnh của đa giác thẳng hàng theo một thứ tự nhất định.
• Định lí 5: Trong một tam giác, độ dài trung tuyến ứng với một cạnh nhỏ hơn nửa tổng độ dài hai cạnh còn lại.
2. Quan hệ giữa đường xiên, đường vuông góc và hình chiếu của đường xiên:
• Định lí 1: Đường vuông góc là đường ngắn nhất nối một điểm đến một đường thẳng.
• Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì đường xiên đó dài hơn, và ngược lại.
3. Các bất đẳng thức trong đường tròn:
• Định lí 1: Đường kính là dây dài nhất của một đường tròn.
• Định lí 2: Mối quan hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại. Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại.
• Định lí 3: Điều kiện để hai đường tròn cắt nhau dựa trên bán kính và khoảng cách giữa hai tâm.
• Định lí 4: Bất đẳng thức liên quan đến khoảng cách từ một điểm trong đường tròn đến tâm và một điểm bất kỳ trên đường tròn.
• Định lí 5: Bất đẳng thức liên quan đến khoảng cách từ một điểm ngoài đường tròn đến tâm và một điểm bất kỳ trên đường tròn.
4. Các bất đẳng thức về diện tích:
• Định lí 1: Diện tích tam giác và bất đẳng thức liên quan đến góc vuông.
• Định lí 2: Diện tích tứ giác và điều kiện để đạt dấu bằng.
• Định lí 3: Diện tích tứ giác và điều kiện để đạt dấu bằng.
5. Một số bất đẳng thức đại số thường dùng:
• Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.
• Bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương.
• Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunhiacopxki).

II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI

Đánh giá và nhận xét:

Tài liệu có cấu trúc rõ ràng, logic, bắt đầu từ việc hệ thống hóa kiến thức nền tảng, sau đó đưa ra các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện. Việc cung cấp hướng dẫn giải chi tiết là một điểm cộng lớn, giúp học sinh tự học hiệu quả. Tuy nhiên, một số định lý trong phần "Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác" còn thiếu nội dung cụ thể, cần được bổ sung để tài liệu hoàn thiện hơn. Việc trình bày các bất đẳng thức đại số cần rõ ràng hơn về điều kiện áp dụng và dấu bằng xảy ra.