Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 1 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc hiểu rõ điều kiện để hai đường thẳng trong không gian được xem là vuông góc. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, là nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn.

I. Lý thuyết cơ bản về hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Trong không gian, để xác định hai đường thẳng vuông góc, ta cần dựa vào vector chỉ phương của chúng. Cụ thể:

• Định nghĩa: Hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vector chỉ phương của chúng bằng 0.
• Công thức: Nếu d₁ có vector chỉ phương u₁ và d₂ có vector chỉ phương u₂ thì d₁ ⊥ d₂ ⇔ u₁ ⋅ u₂ = 0

II. Giải bài tập Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Dưới đây là lời giải chi tiết các bài tập trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2, chương 8, bài 1:

Bài 1.1:

Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có vector chỉ phương lần lượt là u₁ = (1; -2; 3) và u₂ = (2; 1; -1). Chứng minh rằng d₁ và d₂ vuông góc.

Lời giải:

Ta tính tích vô hướng của u₁ và u₂:

u₁ ⋅ u₂ = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3 ≠ 0

Vậy d₁ và d₂ không vuông góc.

Bài 1.2:

Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d có phương trình tham số: x = 2 + t, y = 1 - t, z = 4 + 2t. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho AB vuông góc với d.

Lời giải:

Gọi B(2 + t; 1 - t; 4 + 2t) là một điểm thuộc d. Vector AB = (2 + t - 1; 1 - t - 2; 4 + 2t - 3) = (1 + t; -1 - t; 1 + 2t). Vector chỉ phương của d là u = (1; -1; 2).

Để AB vuông góc với d, ta cần AB ⋅ u = 0.

(1 + t)(1) + (-1 - t)(-1) + (1 + 2t)(2) = 0

1 + t + 1 + t + 2 + 4t = 0

6t + 4 = 0

t = -2/3

Vậy B(2 - 2/3; 1 + 2/3; 4 - 4/3) = (4/3; 5/3; 8/3).

III. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức về hai đường thẳng vuông góc, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:

• Bài 1.3, 1.4, 1.5 trong SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 2, chương 8.
• Các bài tập tương tự trên các trang web học toán online khác.

IV. Kết luận

Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập sẽ giúp các em tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán hình học không gian phức tạp.