Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với điểm trên cạnh đối diện sao cho chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó. Bài 11 trong sách Toán 7 tập 2, Cánh diều tập trung vào việc khám phá và chứng minh các tính chất quan trọng của ba đường phân giác trong một tam giác.

I. Lý thuyết cơ bản về đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với điểm trên cạnh đối diện, chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của đỉnh đó. Nếu AD là đường phân giác của tam giác ABC (D nằm trên BC) thì:

BD/CD = AB/AC

Giao điểm của ba đường phân giác trong một tam giác được gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Tâm này cách đều ba cạnh của tam giác.

II. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 11 tập trung vào việc chứng minh và hiểu rõ tính chất quan trọng nhất của ba đường phân giác: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm.

Chứng minh:

Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác AB và AC của tam giác ABC.
Vì I là giao điểm của hai đường phân giác, nên I cách đều hai cạnh AB và AC.
Do đó, I nằm trên đường phân giác thứ ba, tức là đường phân giác của góc BAC.
Vậy, ba đường phân giác AB, AC và BC đồng quy tại điểm I.

Tính chất này có ý nghĩa quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tính tỉ lệ và khoảng cách.

III. Bài tập áp dụng và ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về tính chất ba đường phân giác, chúng ta cùng xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 8cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác. Tính độ dài đoạn thẳng BI.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: BD/CD = AB/AC = 5/7
Mà BD + CD = BC = 8cm, suy ra BD = (5/12) * 8 = 10/3 cm
Áp dụng định lý đường phân giác, ta có: AI/ID = (AB + AC)/BC = (5+7)/8 = 3/2
Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với đường thẳng AI, ta có thể tính được BI.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác. Tính khoảng cách từ I đến cạnh AB.

Giải:

Tính độ dài cạnh BC theo định lý Pitago: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm
Gọi D, E, F lần lượt là chân đường phân giác kẻ từ A, B, C.
Vì I là giao điểm của ba đường phân giác, nên ID = IE = IF = r (bán kính đường tròn nội tiếp)
Diện tích tam giác ABC = (1/2) * AB * AC = (1/2) * 3 * 4 = 6cm²
Diện tích tam giác ABC cũng bằng (1/2) * (AB + AC + BC) * r = (1/2) * (3 + 4 + 5) * r = 6r
Suy ra 6r = 6, vậy r = 1cm. Do đó, khoảng cách từ I đến cạnh AB là 1cm.

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để củng cố kiến thức về tính chất ba đường phân giác, các em có thể thực hành giải các bài tập sau trong sách giáo khoa và sách bài tập Toán 7 tập 2, Cánh diều. Ngoài ra, các em có thể tìm kiếm thêm các bài tập tương tự trên internet để rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về tính chất ba đường phân giác của tam giác. Chúc các em học tập tốt!