Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với một điểm trên cạnh đối diện, chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Bài 17 trong Vở thực hành Toán 8 Tập 1 Chương IV đi sâu vào việc khám phá tính chất quan trọng của đường phân giác này, cụ thể là mối quan hệ giữa đường phân giác và tỉ lệ các đoạn thẳng trên cạnh đối diện.

I. Lý thuyết cơ bản về đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của tam giác ABC, ký hiệu là AD (D nằm trên BC), thỏa mãn:

∠BAD = ∠CAD
Tỉ lệ thức: BD/CD = AB/AC. Đây là tính chất quan trọng nhất mà chúng ta cần nắm vững trong bài học này.

II. Chứng minh tính chất đường phân giác

Để chứng minh tính chất BD/CD = AB/AC, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng. Cụ thể:

Kẻ đường thẳng BE song song với AD (E nằm trên AC).
Chứng minh tam giác CBE đồng dạng với tam giác CDA (góc-góc-góc).
Suy ra BD/CD = BE/DA.
Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADC (góc-góc-góc).
Suy ra BE/DA = AB/AC.
Kết hợp hai kết quả trên, ta được BD/CD = AB/AC.

III. Ứng dụng của tính chất đường phân giác trong giải bài tập

Tính chất đường phân giác được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tỉ lệ đoạn thẳng. Dưới đây là một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, và đường phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn BD = 4cm và CD = 6cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: AB/AC = BD/CD. Thay số vào, ta được: 6/9 = 4/6. Tuy nhiên, tỉ lệ này không đúng, điều này cho thấy dữ liệu bài toán có thể mâu thuẫn hoặc cần kiểm tra lại.

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, và đường phân giác AD. Biết BD = 3cm. Tính độ dài CD.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: AB/AC = BD/CD. Thay số vào, ta được: 5/7 = 3/CD. Suy ra CD = (3 * 7) / 5 = 4.2cm.

IV. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về tính chất đường phân giác, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 12cm, và đường phân giác AD. Biết BD = 6cm. Tính độ dài CD.
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 7cm, AC = 9cm, và đường phân giác AD. Biết BC = 16cm. Tính độ dài BD và CD.
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, và đường phân giác AD. Biết BD = 2cm. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc BAC.

V. Kết luận

Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc nắm vững lý thuyết và vận dụng thành thạo tính chất đường phân giác sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất!