Bài 2. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Bài 2. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông - SBT Toán 9 - Chân trời sáng tạo

I. Lý thuyết cơ bản

Trong một tam giác vuông, các cạnh và góc có mối quan hệ mật thiết với nhau. Các hệ thức lượng cơ bản giúp chúng ta thiết lập mối liên hệ này và ứng dụng vào giải toán.

1. Định nghĩa các tỉ số lượng giác

• Sin của góc α (sin α): Là tỉ số giữa cạnh đối diện góc α và cạnh huyền. sin α = Đối/Huyền
• Cosin của góc α (cos α): Là tỉ số giữa cạnh kề góc α và cạnh huyền. cos α = Kề/Huyền
• Tang của góc α (tan α): Là tỉ số giữa cạnh đối diện góc α và cạnh kề góc α. tan α = Đối/Kề
• Cotang của góc α (cot α): Là tỉ số giữa cạnh kề góc α và cạnh đối diện góc α. cot α = Kề/Đối

2. Mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc nhọn trong tam giác vuông

Nếu α và β là hai góc nhọn trong một tam giác vuông thì:

• sin α = cos (90° - α)
• cos α = sin (90° - α)
• tan α = cot (90° - α)
• cot α = tan (90° - α)

3. Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có:

• BC = a (cạnh huyền)
• AB = c (cạnh kề góc B)
• AC = b (cạnh đối góc B)

Khi đó:

• sin B = b/a
• cos B = c/a
• tan B = b/c
• cot B = c/b

II. Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính các cạnh và góc của tam giác vuông ABC biết AB = 5cm, góc B = 40°

Giải:

Áp dụng tỉ số lượng giác:

• tan B = AC/AB => AC = AB * tan B = 5 * tan 40° ≈ 4.195 cm
• cos B = AB/BC => BC = AB/cos B = 5/cos 40° ≈ 6.527 cm
• Góc C = 90° - B = 90° - 40° = 50°

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Giải:

Áp dụng định lý Pitago, ta có: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm

• sin B = AC/BC = 4/5 = 0.8
• cos B = AB/BC = 3/5 = 0.6
• tan B = AC/AB = 4/3 ≈ 1.333
• cot B = AB/AC = 3/4 = 0.75

III. Luyện tập

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, góc C = 30°. Tính AC, BC.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 8cm, BC = 10cm. Tính AB, sin B, cos B, tan B.
3. Một cột điện cao 10m, bóng đổ trên mặt đất dài 15m. Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất.

IV. Kết luận

Bài học về hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông. Việc nắm vững các tỉ số lượng giác và cách áp dụng chúng vào thực tế sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 2. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông - SBT Toán 9 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!