Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

I. Phân bố Bernoulli

Phân bố Bernoulli là một phân bố xác suất rời rạc mô tả kết quả của một phép thử Bernoulli, một phép thử chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công hoặc thất bại.

1. Định nghĩa

Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Bernoulli với tham số p (0 ≤ p ≤ 1) nếu:

P(X = 1) = p (xác suất thành công)
P(X = 0) = 1 - p (xác suất thất bại)

Ký hiệu: X ~ Bernoulli(p)

2. Ví dụ

Ví dụ: Tung một đồng xu. Nếu mặt ngửa xuất hiện, ta coi đó là thành công (X = 1) với xác suất p = 0.5. Nếu mặt sấp xuất hiện, ta coi đó là thất bại (X = 0) với xác suất 1 - p = 0.5.

3. Các số đặc trưng

Giá trị kỳ vọng: E(X) = p
Phương sai: Var(X) = p(1 - p)
Độ lệch chuẩn: σ(X) = √(p(1 - p))

II. Phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n phép thử Bernoulli độc lập, với xác suất thành công p không đổi trong mỗi phép thử.

1. Định nghĩa

Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố nhị thức với các tham số n và p (0 ≤ p ≤ 1) nếu:

P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n

Ký hiệu: X ~ Binomial(n, p)

2. Ví dụ

Ví dụ: Tung một đồng xu 10 lần. X là số lần xuất hiện mặt ngửa. X tuân theo phân bố nhị thức với n = 10 và p = 0.5.

3. Các số đặc trưng

Giá trị kỳ vọng: E(X) = np
Phương sai: Var(X) = np(1 - p)
Độ lệch chuẩn: σ(X) = √(np(1 - p))

III. Mối quan hệ giữa phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức có thể được xem là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, mỗi biến có cùng xác suất thành công p.

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một xạ thủ bắn vào bia. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ là 0.8. Xạ thủ bắn 5 phát. Tính xác suất xạ thủ bắn trúng bia đúng 3 phát.

Bài 2: Một hộp chứa 10 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 7 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng từ hộp. Tính xác suất lấy được đúng 2 quả bóng đỏ.

V. Kết luận

Bài học hôm nay đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Việc nắm vững hai phân bố này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán xác suất trong thực tế. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.