Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu - Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chuyên đề Ứng dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu của chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo là một bước quan trọng trong việc củng cố kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế. Bài học này tập trung vào việc sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, và giải các bài toán tối ưu trong các lĩnh vực khác nhau.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để giải quyết bài toán tối ưu bằng đạo hàm, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Đạo hàm của hàm số: Hiểu rõ khái niệm đạo hàm, cách tính đạo hàm của các hàm số cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm.
Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị: Nắm vững các điều kiện để hàm số đạt cực đại, cực tiểu.
Bài toán tối ưu trên một khoảng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Bài toán tối ưu trên một tập hợp: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp cho trước.

II. Phương pháp giải bài toán tối ưu

Quy trình giải bài toán tối ưu bằng đạo hàm thường bao gồm các bước sau:

Xác định hàm số: Xác định hàm số cần tối ưu, dựa trên các thông tin được cho trong bài toán.
Tìm tập xác định: Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số.
Tìm điểm dừng: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm dừng.
Xét dấu đạo hàm: Xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Kết luận: Dựa vào dấu đạo hàm và các điểm dừng để kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 1 trên khoảng [0; 3].

Giải:

f'(x) = -2x + 4
f'(x) = 0 ⇔ x = 2
f(0) = 1
f(2) = 5
f(3) = 4

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên khoảng [0; 3] là 5, đạt được tại x = 2.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức và kỹ năng, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 2x + 3.
Bài 2: Một người nông dân muốn xây một chuồng trại hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi chu vi của chuồng trại nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1; 3].

V. Lời khuyên khi học tập

Để học tốt bài 2 này, các em nên:

Nắm vững lý thuyết trọng tâm về đạo hàm và bài toán tối ưu.
Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài và phương pháp giải.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập như máy tính bỏ túi, phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.
Tham khảo các tài liệu tham khảo, bài giảng online để mở rộng kiến thức.

Montoan.com.vn hy vọng rằng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán tối ưu và đạt kết quả tốt trong kỳ thi sắp tới.