THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 3 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và cập nhật mới nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Người ta muốn thiết kế một lồng nuôi cá có bề mặt hình chữ nhật bao gồm phần mặt nước có diện tích bằng 54 m2 và phần đường đi xung quanh với kích thước (đơn vị: m) như Hình 8. Bề mặt của lồng có chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu để diện tích phần đường đi là bé nhất?
Đề bài
Người ta muốn thiết kế một lồng nuôi cá có bề mặt hình chữ nhật bao gồm phần mặt nước có diện tích bằng 54 m2 và phần đường đi xung quanh với kích thước (đơn vị: m) như Hình 8. Bề mặt của lồng có chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu để diện tích phần đường đi là bé nhất?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
• Tìm mối quan hệ giữa \(a,b\), biểu thị diện tích phần đường đường đi thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
Diện tích phần mặt nước là: \(\left( {a - 2 - 1} \right)\left( {b - 1 - 1} \right) = \left( {a - 3} \right)\left( {b - 2} \right)\) với \(a > 3,b > 2\).
Do phần mặt nước có diện tích bằng 54 m2 nên ta có:
\(\left( {a - 3} \right)\left( {b - 2} \right) = 54 \Leftrightarrow b - 2 = \frac{{54}}{{a - 3}} \Leftrightarrow b = \frac{{54}}{{a - 3}} + 2\)
Diện tích bể là: \(ab = a.\left( {\frac{{54}}{{a - 3}} + 2} \right) = \frac{{54a}}{{a - 3}} + 2a\).
Diện tích phần đường đi xung quanh là: \(S = \frac{{54a}}{{a - 3}} + 2a - 54 = \frac{{162}}{{a - 3}} + 2a\).
Xét hàm số \(S\left( a \right) = \frac{{162}}{{a - 3}} + 2a\) trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Ta có: \(S'\left( a \right) = - \frac{{162}}{{{{\left( {a - 3} \right)}^2}}} + 2\)
\(S'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{{162}}{{{{\left( {a - 3} \right)}^2}}} + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} = 81 \Leftrightarrow a = 12\) hoặc \({\rm{a}} = - 6\) (loại).
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\):
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {3; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {12} \right) = 42\).
Vậy diện tích phần đường đi \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(a = 12\left( m \right)\) và \(b = \frac{{54}}{{12 - 3}} + 2 = 8\left( m \right)\).
Bài 3 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững kiến thức về các khái niệm cơ bản như đạo hàm, cực trị, điểm uốn, và các phương pháp giải toán liên quan.
Bài 3 thường yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
Để giải bài 3 trang 20, chúng ta sẽ tiến hành theo các bước sau:
Giả sử hàm số cần khảo sát là y = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải bài toán này.
Bước 1: Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có tập xác định là R.
Bước 2: y' = 3x2 - 6x.
Bước 3: Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Bước 4: Xét dấu y' trên các khoảng (-∞, 0), (0, 2), (2, +∞), ta thấy hàm số đồng biến trên (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên (0, 2).
Bước 5: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.
Bước 6: y'' = 6x - 6.
Bước 7: Giải phương trình y'' = 0, ta được x = 1.
Bước 8: Điểm uốn của hàm số là (1, 0).
Bước 9: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Việc giải bài 3 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về kiến thức đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tương tự.
