Chuyên đề 3. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Chuyên đề 3: Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc - Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo

Chuyên đề 3 trong chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo đi sâu vào lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là nghiên cứu về biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của chúng. Đây là một phần kiến thức quan trọng, không chỉ phục vụ cho kỳ thi THPT mà còn là nền tảng cho các ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực khác.

1. Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc là gì?

Một biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến mà tập hợp các giá trị có thể nhận được là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Nói cách khác, các giá trị của biến ngẫu nhiên có thể được liệt kê ra một cách rõ ràng. Ví dụ:

• Số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa.
• Số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Điểm số trong một bài kiểm tra (giả sử điểm số chỉ có thể là các số nguyên).

2. Phân phối Xác Suất của Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc

Mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc được gán một xác suất, thể hiện khả năng giá trị đó xảy ra. Tập hợp tất cả các giá trị và xác suất tương ứng của chúng được gọi là phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Phân phối xác suất phải thỏa mãn hai điều kiện:

1. 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 với mọi x.
2. ∑ P(X = x) = 1 (tổng xác suất của tất cả các giá trị phải bằng 1).

3. Các Số Đặc Trưng của Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc

a. Kỳ Vọng (Expected Value)

Kỳ vọng, ký hiệu là E(X), là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. Nó được tính bằng công thức:

E(X) = ∑ x * P(X = x)

Kỳ vọng cho biết giá trị mà chúng ta có thể mong đợi nhận được nếu thực hiện thí nghiệm nhiều lần.

b. Phương Sai (Variance)

Phương sai, ký hiệu là Var(X), đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng. Nó được tính bằng công thức:

Var(X) = E[(X - E(X))²] = ∑ (x - E(X))² * P(X = x)

Phương sai càng lớn, các giá trị của biến ngẫu nhiên càng phân tán.

c. Độ Lệch Chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn, ký hiệu là σ, là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng đo lường mức độ phân tán, nhưng có đơn vị giống với biến ngẫu nhiên, dễ dàng diễn giải hơn.

σ = √Var(X)

4. Các Phân Phối Rời Rạc Quan Trọng

a. Phân Phối Bernoulli

Mô tả kết quả của một phép thử Bernoulli (thành công hoặc thất bại). Ví dụ: tung đồng xu.

b. Phân Phối Nhị Thức (Binomial Distribution)

Mô tả số lần thành công trong một chuỗi n phép thử Bernoulli độc lập.

c. Phân Phối Poisson

Mô tả số lượng sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian hoặc không gian nhất định.

5. Ứng Dụng của Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực:

• Bảo hiểm: Tính toán rủi ro và phí bảo hiểm.
• Tài chính: Phân tích đầu tư và quản lý rủi ro.
• Kiểm soát chất lượng: Đánh giá tỷ lệ sản phẩm lỗi.
• Y học: Nghiên cứu tỷ lệ mắc bệnh và hiệu quả của các phương pháp điều trị.

6. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức, hãy thực hành giải các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để rút được 2 quả bóng đỏ.
2. Một người chơi xổ số mua 10 vé. Xác suất trúng thưởng của mỗi vé là 0.1. Tính kỳ vọng số vé trúng thưởng.

Hy vọng chuyên đề này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về biến ngẫu nhiên rời rạc. Chúc bạn học tập tốt!