Bài tập cuối chuyên đề 3 Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài tập cuối chuyên đề 3 - Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Chuyên đề 3 trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào lý thuyết xác suất, đặc biệt là biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng của chúng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến thống kê và dự đoán.

I. Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được các giá trị. Ví dụ, số lần xuất hiện mặt ngửa khi tung đồng xu 3 lần là một biến ngẫu nhiên rời rạc (có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3).

II. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Có ba số đặc trưng quan trọng của biến ngẫu nhiên rời rạc:

Giá trị kỳ vọng (E(X)): Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên, được tính bằng tổng của tích mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên với xác suất tương ứng. Công thức: E(X) = Σ(xi * P(xi)).
Phương sai (Var(X)): Đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị kỳ vọng. Công thức: Var(X) = E((X - E(X))^2) = Σ((xi - E(X))^2 * P(xi)).
Độ lệch chuẩn (σ(X)): Căn bậc hai của phương sai, cũng đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên. Công thức: σ(X) = √Var(X).

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Tìm phân phối xác suất của X.

Giải:

X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.
P(X=0) = C(2,2) / C(5,2) = 1/10
P(X=1) = C(3,1) * C(2,1) / C(5,2) = 6/10
P(X=2) = C(3,2) / C(5,2) = 3/10

Bài 2: Một người chơi xổ số mua 2 vé. Xác suất trúng thưởng của mỗi vé là 0.1. Gọi X là số vé trúng thưởng. Tính giá trị kỳ vọng và phương sai của X.

Giải:

X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.
P(X=0) = (0.9)^2 = 0.81
P(X=1) = 2 * 0.1 * 0.9 = 0.18
P(X=2) = (0.1)^2 = 0.01
E(X) = 0*0.81 + 1*0.18 + 2*0.01 = 0.2
Var(X) = (0-0.2)^2 * 0.81 + (1-0.2)^2 * 0.18 + (2-0.2)^2 * 0.01 = 0.0324

IV. Luyện tập nâng cao

Để củng cố kiến thức, bạn nên thực hành thêm nhiều bài tập khác nhau. Montoan.com.vn cung cấp một kho bài tập phong phú, được phân loại theo mức độ khó, giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các bài thi.